Em cada caso, decomponha a função f como composta das funções p, q, r e s dadas:
(b) f(x) = 2 + 1 / ln(2 + 1/x), onde p(x)=1/x, q(x)=x+2 e r(x) = ln(x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício onde precisamos decompor a função usando as funções , e . A matéria principal aqui é composição de funções, que é fundamental para entender como funções podem ser combinadas para formar outras mais complexas. Vamos precisar entender como cada função se encaixa na composição para chegar na função .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a função na nossa variável . A função é dada por:
Isso significa que, quando aplicamos em , obtemos o recíproco de .

Passo 3

Agora, pegamos o resultado de e aplicamos a função . A função é:
Então, substituindo em :
Isso nos dá a expressão dentro do logaritmo na função .

Passo 4

Em seguida, aplicamos a função no resultado de . A função é o logaritmo natural:
Aplicando isso:
Agora, temos o denominador da fração na função .

Passo 5

Finalmente, precisamos construir a parte externa da função . Observando , percebemos que além das funções , e , precisamos de uma função adicional que realiza a operação .
Vamos definir:
Então, aplicando ao resultado de :

Resposta

Portanto, a função pode ser decomposta como a composição das funções , , e da seguinte forma:
Onde:

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