Em cada caso, decomponha o vetor \vec{v} como uma soma \vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2} com \vec{v}_{1} paralelo a \vec{w} e \vec{v}_{2} ortogonal a \vec{w}.
\vec{v}=(-1,-1,1), \vec{w}=(0,1,2).

Passo 1

O enunciado pede para escrevê-lo como
\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}
onde \vec{v}_{1} é paralelo a \vec{w} e \vec{v}_{2} é ortogonal a \vec{w}.
O conteúdo aqui é a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula básica é
\vec{v}_{1} = \mathrm{proj}_{\vec w}(\vec v) = \frac{\vec v\cdot\vec w}{\vec w\cdot\vec w}\,\vec w,
e então \vec v_2 = \vec v - \vec v_1.

Passo 2

Calcular os produtos escalares necessários:
\vec v\cdot\vec w = (-1)\cdot 0 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot 2 = 1,
\vec w\cdot\vec w = 0^2 + 1^2 + 2^2 = 5.

Passo 3

Aplicando a fórmula da projeção:
\vec v_{1} = \frac{1}{5}\,\vec w = \frac{1}{5}(0,1,2) = \bigl(0,\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5}\bigr).

Passo 4

Em seguida,
\vec v_{2} = \vec v - \vec v_{1} = (-1,-1,1) - \bigl(0,\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5}\bigr) = \bigl(-1,-\tfrac{6}{5},\tfrac{3}{5}\bigr).
Verifique que
\vec v_{2}\cdot\vec w = (-1)\cdot 0 + \bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)\cdot1 + \tfrac{3}{5}\cdot2 = -\tfrac{6}{5} + \tfrac{6}{5} = 0,
ou seja, \vec v_{2} é ortogonal a \vec w.

Resposta

\displaystyle \vec v_{1} = \bigl(0,\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5}\bigr),\quad \vec v_{2} = \bigl(-1,-\tfrac{6}{5},\tfrac{3}{5}\bigr).

Exercícios relacionados