Determine a projeção ortogonal do vetor \vec{w} sobre o vetor \vec{v} nos casos:
\vec{w}=\left(0, \frac{1}{2}, 1\right), \vec{v}=(-2,3,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de \vec{w} sobre \vec{v}, sendo
\vec{w} = \bigl(0,\tfrac12,1\bigr), \quad \vec{v} = (-2,3,1).
O conteúdo usado é produto escalar e definição de projeção ortogonal entre vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 2

A fórmula da projeção de \vec{w} sobre \vec{v} é
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec w = \frac{\vec w\!\cdot\!\vec v}{\vec v\!\cdot\!\vec v}\,\vec v.
Calculemos o numerador e o denominador:
\vec w\!\cdot\!\vec v = 0\cdot(-2) + \tfrac12\cdot3 + 1\cdot1 = \tfrac32 + 1 = \tfrac52,
\vec v\!\cdot\!\vec v = (-2)^2 + 3^2 + 1^2 = 4 + 9 + 1 = 14.

Passo 3

O fator escalar é
\alpha = \frac{\vec w\!\cdot\!\vec v}{\vec v\!\cdot\!\vec v} = \frac{\tfrac52}{14} = \frac{5}{28}.

Passo 4

Multiplicando \vec v por \alpha:
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec w = \frac{5}{28}\,(-2,3,1) = \Bigl(-\tfrac{10}{28},\,\tfrac{15}{28},\,\tfrac{5}{28}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{5}{14},\,\tfrac{15}{28},\,\tfrac{5}{28}\Bigr).

Resposta

\mathrm{proj}_{\vec v}\vec w = \bigl(-\tfrac{5}{14},\;\tfrac{15}{28},\;\tfrac{5}{28}\bigr).

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