Dados os pontos \mathbf{A}(2,1,5) e \mathbf{B}(3,6,2), escreva o vetor \mathbf{A B} como combinação linear dos vetores i, j e k. Qual o módulo de AB.

Passo 1

Temos os pontos \mathbf{A}(2,1,5) e \mathbf{B}(3,6,2). O objetivo é achar o vetor \mathbf{AB} e depois calcular o módulo (comprimento) desse vetor. Para isso vamos usar dois conceitos básicos de geometria vetorial em \mathbb{R}^3:
  1. A definição do vetor que une dois pontos, subtraindo suas coordenadas.
  2. A fórmula do módulo de um vetor (x,y,z), que é \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Passo 2

Para encontrar \mathbf{AB} subtraímos as coordenadas de \mathbf{A} das de \mathbf{B}. Se \mathbf{A}(x_A,y_A,z_A) e \mathbf{B}(x_B,y_B,z_B), então
\mathbf{AB} = (x_B - x_A,\;y_B - y_A,\;z_B - z_A).
Aplicando aos valores dados:
x_B - x_A = 3 - 2 = 1,
y_B - y_A = 6 - 1 = 5,
z_B - z_A = 2 - 5 = -3.

Passo 3

Agora escrevemos \mathbf{AB} como combinação linear dos vetores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. O vetor (1,5,-3) corresponde a
\mathbf{AB} = 1\,\mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} - 3\,\mathbf{k}.

Passo 4

Para achar o módulo de \mathbf{AB}=(1,5,-3) usamos
\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{1^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}.

Resposta

\mathbf{AB} = \mathbf{i} + 5\,\mathbf{j} - 3\,\mathbf{k}.
\|\mathbf{AB}\| = \sqrt{35}.

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