Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens, A, B e C são matrizes quadradas.
(i) Se A^2=I, então det(A)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada A tal que
A^2 = I,
e pede para verificar se disso segue necessariamente que det(A)=1. O conteúdo aqui é determinante de matrizes e vamos usar as propriedades
  1. det(A^2) = det(A)^2;
  2. det(I)=1.

Passo 2

Aplicando determinante em A^2=I obtemos
det(A^2) = det(I) Longrightarrow det(A)^2 = 1
Logo
det(A) = pm 1

Passo 3

Como det(A) pode ser +1 ou -1, a afirmação “ det(A)=1” nem sempre é verdadeira. Basta um exemplo com determinante -1 para mostrar a falsidade.

Passo 4

Um exemplo simples é
A = -1 (matriz (1times1) com o único e<=mento (-1)) ú
Aqui
A^2 = (-1)^2 = 1 = I e det(A) = -1
Portanto, det(A)neq1 nesse caso.

Resposta

A afirmação é falsa, como mostra o exemplo A=[-1], em que A^2=I mas det(A)=-1.

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