Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Em todos os itens,
e
são matrizes quadradas.
(i) Se
, então
.
(i) Se
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz quadrada
tal que
e pede para verificar se disso segue necessariamente que
. O conteúdo aqui é determinante de matrizes e vamos usar as propriedades
-
; -
.
Passo 2
Aplicando determinante em
obtemos
Logo
Passo 3
Como
pode ser
ou
, a afirmação “
” nem sempre é verdadeira. Basta um exemplo com determinante
para mostrar a falsidade.
Passo 4
Um exemplo simples é
Aqui
Portanto,
nesse caso.
Resposta
A afirmação é falsa, como mostra o exemplo
, em que
mas
.