Resolva os sistemas abaixo utilizando o Método da Matriz Inversa.
lx+3 y+z=4 2 x+2 y+z=-1 2 x+3 y+z=3

Passo 1

Então, temos um sistema de equações lineares com três variáveis:
x + 3y + z = 4 2x + 2y + z = -1 2x + 3y + z = 3
Vamos resolver esse sistema usando o Método da Matriz Inversa, que faz parte da Álgebra Linear. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes, calcular a inversa da matriz dos coeficientes e, por fim, multiplicar essa inversa pelo vetor dos termos constantes para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A e o vetor das constantes B:
A = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 2 & 3 & 1 , B = 4 -1 3

Passo 3

Para encontrar a matriz inversa de A, precisamos primeiro calcular o determinante de A. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(2 cdot 1 - 1 cdot 3) - 3(2 cdot 1 - 1 cdot 2) + 1(2 cdot 3 - 2 cdot 2) = 1(-1) - 3(0) + 1(2) = -1 + 0 + 2 = 1
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 1), a matriz A tem inversa.

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de A, que é a transposta da matriz dos cofatores. Calculamos cada cofator:
Cofator11 = det 2 & 1 3 & 1 = (2)(1) - (1)(3) = -1
Cofator12 = -det 2 & 1 2 & 1 = -(2 cdot 1 - 1 cdot 2) = 0
Cofator13 = det 2 & 2 2 & 3 = (2)(3) - (2)(2) = 2
Cofator21 = -det 3 & 1 3 & 1 = -(3 cdot 1 - 1 cdot 3) = 0
Cofator22 = det 1 & 1 2 & 1 = (1)(1) - (1)(2) = -1
Cofator23 = -det 1 & 3 2 & 3 = -(1 cdot 3 - 3 cdot 2) = 3
Cofator31 = det 3 & 1 2 & 1 = (3)(1) - (1)(2) = 1
Cofator32 = -det 1 & 1 2 & 1 = -((1)(1) - (1)(2)) = 1
Cofator33 = det 1 & 3 2 & 2 = (1)(2) - (3)(2) = -4
Assim, a matriz dos cofatores é:
Cof(A) = -1 & 0 & 2 0 & -1 & 3 1 & 1 & -4
A adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores:
Adj(A) = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 3 & -4

Passo 5

Com o determinante e a adjunta, podemos encontrar a inversa de A:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1 cdot -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 3 & -4 = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 3 & -4

Passo 6

Agora, multiplicamos a matriz inversa A^-1 pelo vetor B para encontrar o vetor das variáveis X:
X = A^-1 B = -1 & 0 & 1 0 & -1 & 1 2 & 3 & -4 4 -1 3 = (-1)(4) + (0)(-1) + (1)(3) (0)(4) + (-1)(-1) + (1)(3) (2)(4) + (3)(-1) + (-4)(3) = -4 + 0 + 3 0 + 1 + 3 8 - 3 - 12 = -1 4 -7

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 4, z = -7

Exercícios relacionados