Em cada caso, encontre condições sobre os números a e b para que o sistema dado não tenha solução, tenha uma única solução, ou tenha infinitas soluções. Resolva o sistema quando ele for consistente.
(ii) lx+a y=1 b x+2 y=5

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em
com parâmetros para que o sistema não tenha solução, tenha única solução ou infinitas soluções, e resolver quando for consistente. Vamos usar determinante da matriz dos coeficientes e, se for o caso, o critério de consistência para .

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
De<a = 1 & a[6pt] b & 2 =1cdot 2 - acdot b = 2 - a b
Se De<a neq 0, o sistema tem única solução dada por Cramer.]

Passo 3

Aplicando a regra de Cramer, para De<aneq0:
x = 1 & a[3pt]5 & 2De<a = 1cdot 2 - acdot 52 - a b = 2 - 5a2 - a b,
y = 1 & 1[3pt]b & 5De<a = 1cdot 5 - 1cdot b2 - a b = 5 - b2 - a b ]

Passo 4

Se De<a=0, isto é,
a b = 2,
então o sistema pode ter ou infinitas soluções ou nenhuma. Para decidir, analisamos se a segunda equação é múltiplo da primeira.

Passo 5

Multiplicando a primeira equação por b obtemos
b,x + (a b),y = bLongrightarrow b,x + 2,y = b
Para coincidir com a segunda equação b,x+2,y=5, é necessário b = 5. Juntando com a b=2 vem
b=5, a=2b=25
Nesse caso as duas equações são proporcionais e o sistema tem infinitas soluções, com um grau de liberdade. Por exemplo, podemos tomar y=t livre e
x + 25t = 1 Longrightarrow x = 1 - tfrac25t

Passo 6

Se a b = 2 mas b neq 5, as equações não são proporcionais e o sistema fica inconsistente, logo não tem solução.

Resposta

Condições e soluções:
– Única solução se 2 - a b neq 0, ou seja, a b neq 2, sendo
x = 2 - 5a2 - a b, y = 5 - b2 - a b
– Infinitas soluções se l(a,br)=l(tfrac25,5r), com a família
x = 1 - tfrac25t,;y = t, tinR
– Sem solução se a b = 2 e b neq 5.

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