Mostre que (\mathbb{R}, \star) é um grupo abeliano, onde \star é definida por x \star y=x+y-3, para quaisquer x, y \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a operação binária \star em \mathbb{R} definida por
x\star y = x+y-3,
para quaisquer x,y\in\mathbb{R}. O que precisamos provar é que o par (\mathbb{R},\star) satisfaz todas as propriedades que caracterizam um grupo comutativo (abeliano). Ou seja, devemos mostrar, passo a passo:
  • fechamento: x\star y\in\mathbb{R} para todo x,y\in\mathbb{R};
  • associatividade: (x\star y)\star z = x\star (y\star z) para todo x,y,z\in\mathbb{R};
  • existência de elemento neutro e tal que x\star e = x = e\star x para todo x\in\mathbb{R};
  • existência de inversos: para cada x\in\mathbb{R} existe x^{-1}\in\mathbb{R} com x\star x^{-1}=e=x^{-1}\star x;
  • comutatividade: x\star y = y\star x para todo x,y\in\mathbb{R}.
Não vamos pular etapas: a cada propriedade eu explico o que ela significa e faço as contas fáceis necessárias.

Passo 2

Fechamento. Significado: aplicar a operação em dois reais deve dar outro real.
Tomando x,y\in\mathbb{R}, por definição
x\star y = x+y-3.
A soma de dois reais é real e subtrair 3 preserva ser real, logo x+y-3\in\mathbb{R}. Portanto a operação é fechada em \mathbb{R}.
Exemplo rápido para sentir a ideia: 2\star 5 = 2+5-3 = 4, que é um real.

Passo 3

Associatividade. Significado: a ordem de agrupar não importa; formalmente precisa valer
(x\star y)\star z = x\star (y\star z)
para todo x,y,z\in\mathbb{R}.
Calculemos o lado esquerdo:
(x\star y)\star z = (x+y-3)\star z = (x+y-3)+z-3 = x+y+z-6.
Calculemos o lado direito:
x\star (y\star z) = x\star (y+z-3) = x+(y+z-3)-3 = x+y+z-6.
Como os dois lados dão exatamente x+y+z-6, temos (x\star y)\star z = x\star (y\star z) para todo x,y,z. A operação é associativa. Observação conceitual: isso decorre diretamente da associatividade e comutatividade usuais da adição em \mathbb{R}, mas aqui fizemos as contas explícitas.

Passo 4

Elemento neutro. Definição: um elemento e\in\mathbb{R} tal que x\star e = x e e\star x = x para todo x.
Começamos impondo x\star e = x. Pela definição,
x\star e = x+e-3 \overset{!}{=} x.
Subtraindo x dos dois lados obtemos e-3=0, portanto
e = 3.
Verificação completa também do outro lado:
e\star x = 3\star x = 3 + x - 3 = x.
Logo e=3 funciona como elemento neutro. Interpretação: o número 3 “anula” a subtração do -3 presente na operação.

Passo 5

Inversos. Definição: dado x\in\mathbb{R}, um inverso x^{-1} é um número que satisfaz x\star x^{-1} = e (onde e=3 já encontrado) e também x^{-1}\star x = e.
Impondo x\star y = 3 e resolvendo para y:
x\star y = x+y-3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x+y-3=3.
Somando 3 nos dois lados e isolando y
y = 6 - x.
Então o candidato ao inverso de x é x^{-1} = 6-x. Verifiquemos ambos os sentidos:
x\star (6-x) = x + (6-x) -3 = 6 -3 = 3,
(6-x)\star x = (6-x) + x -3 = 6 -3 = 3.
Portanto 6-x é de fato o inverso de x. Observação: cada x tem exatamente um inverso dado por 6-x, que pertence a \mathbb{R}.
Exemplo numérico: para x=4 tem-se x^{-1}=6-4=2 e 4\star 2 = 4+2-3=3, como esperado.

Passo 6

Comutatividade (grupo abeliano). Definição: \star é comutativa se x\star y = y\star x para todos x,y.
Pela definição,
x\star y = x+y-3 \quad\text{e}\quad y\star x = y+x-3.
Como x+y = y+x (adição usual é comutativa), segue imediatamente x+y-3 = y+x-3. Portanto x\star y = y\star x para todo x,y. Assim a operação é comutativa, isto é, o grupo será abeliano.

Passo 7

Resumo das verificações (tudo mostrado explicitamente):
  • fechamento: visto no Passo 2;
  • associatividade: Passo 3;
  • elemento neutro e=3: Passo 4;
  • inversos x^{-1}=6-x: Passo 5;
  • comutatividade: Passo 6.
Como todas as propriedades que definem um grupo abeliano foram verificadas, concluímos o que se pedia.

Resposta

(\mathbb{R},\star) é um grupo abeliano.

Exercícios relacionados