Mostre que
é um grupo abeliano, onde
é definida por
, para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado dá a operação binária
em
definida por
para quaisquer
. O que precisamos provar é que o par
satisfaz todas as propriedades que caracterizam um grupo comutativo (abeliano). Ou seja, devemos mostrar, passo a passo:
- fechamento:
para todo ; - associatividade:
para todo ; - existência de elemento neutro
tal que para todo ; - existência de inversos: para cada
existe com ; - comutatividade:
para todo .
Não vamos pular etapas: a cada propriedade eu explico o que ela significa e faço as contas fáceis necessárias.
Passo 2
Fechamento. Significado: aplicar a operação em dois reais deve dar outro real.
Tomando
, por definição
A soma de dois reais é real e subtrair
preserva ser real, logo
. Portanto a operação é fechada em
.
Exemplo rápido para sentir a ideia:
, que é um real.
Passo 3
Associatividade. Significado: a ordem de agrupar não importa; formalmente precisa valer
para todo
.
Calculemos o lado esquerdo:
Calculemos o lado direito:
Como os dois lados dão exatamente
, temos
para todo
. A operação é associativa. Observação conceitual: isso decorre diretamente da associatividade e comutatividade usuais da adição em
, mas aqui fizemos as contas explícitas.
Passo 4
Elemento neutro. Definição: um elemento
tal que
e
para todo
.
Começamos impondo
. Pela definição,
Subtraindo
dos dois lados obtemos
, portanto
Verificação completa também do outro lado:
Logo
funciona como elemento neutro. Interpretação: o número
“anula” a subtração do
presente na operação.
Passo 5
Inversos. Definição: dado
, um inverso
é um número que satisfaz
(onde
já encontrado) e também
.
Impondo
e resolvendo para
:
Somando
nos dois lados e isolando
dá
Então o candidato ao inverso de
é
. Verifiquemos ambos os sentidos:
Portanto
é de fato o inverso de
. Observação: cada
tem exatamente um inverso dado por
, que pertence a
.
Exemplo numérico: para
tem-se
e
, como esperado.
Passo 6
Comutatividade (grupo abeliano). Definição:
é comutativa se
para todos
.
Pela definição,
Como
(adição usual é comutativa), segue imediatamente
. Portanto
para todo
. Assim a operação é comutativa, isto é, o grupo será abeliano.
Passo 7
Resumo das verificações (tudo mostrado explicitamente):
- fechamento: visto no Passo 2;
- associatividade: Passo 3;
- elemento neutro
: Passo 4; - inversos
: Passo 5; - comutatividade: Passo 6.
Como todas as propriedades que definem um grupo abeliano foram verificadas, concluímos o que se pedia.