Mostre que o conjunto G:=\left\{a+b \sqrt{2} \in \mathbb{R}^{*} \mid a, b \in \mathbb{Q}\right\}, munido do produto
(a+b \sqrt{2}) \cdot(c+d \sqrt{2})=(a c+2 b d)+(a d+b c) \sqrt{2}
é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado pede para provar que o conjunto
G:=\left\{a+b\sqrt{2}\in\mathbb{R}^{*}\mid a,b\in\mathbb{Q}\right\}
é um grupo abeliano quando equipado com o produto dado por
(a+b\sqrt{2})\cdot(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.
Informações relevantes dadas:
  • Cada elemento de G tem a forma a+b\sqrt{2} com a,b\in\mathbb{Q}.
  • O produto entre dois tais elementos é a fórmula acima (que coincide com a multiplicação usual em \mathbb{R}).
  • O ambientede G é \mathbb{R}^{*}, ou seja, todos os elementos considerados são não nulos.
O que devemos mostrar:
  • Verificar as propriedades de grupo: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade.
  • Verificar que o produto é comutativo (para ser abeliano).

Passo 2

Lembrete rápido (definições e ferramentas que iremos usar, explicado devagar):
  • Um conjunto com uma operação binária é um grupo se satisfaz quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inverso para todo elemento.
  • O grupo é abeliano se além disso a operação for comutativa.
  • Uma observação útil: a fórmula dada para o produto é exatamente a multiplicação usual de números reais quando interpretamos a+b\sqrt{2} como um número real. Isto nos permite usar propriedades da multiplicação real (associatividade e comutatividade), mas eu também vou mostrar explicitamente a forma das componentes para mostrar fechamento e inverso dentro de G.

Passo 3

Tomemos dois elementos quaisquer de G:
x=a+b\sqrt{2},\qquad y=c+d\sqrt{2},
com a,b,c,d\in\mathbb{Q} e x,y\neq0.
Ao multiplicá-los usamos a fórmula dada:
x\cdot y=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.
Aqui ac+2bd e ad+bc são somas e produtos de números racionais, logo pertencem a \mathbb{Q}. Portanto o produto tem a forma \tilde a+\tilde b\sqrt2 com \tilde a,\tilde b\in\mathbb{Q}, ou seja, x\cdot y\in G.
Além disso, x\cdot y\neq0 porque é o produto usual de dois reais não nulos. Como G\subset\mathbb{R}^{*}, concluímos que o produto fica em G. Assim o fechamento está verificado.

Passo 4

A expressão do produto coincide exatamente com a multiplicação usual de reais:
(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)
computada normalmente dá a mesma identidade algébrica escrita no enunciado. Como a multiplicação real é associativa, para quaisquer x,y,z\in G vale
(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z).
Portanto a associatividade se herda da associatividade da multiplicação em \mathbb{R}.

Passo 5

Verifiquemos o neutro multiplicativo. O número
1 = 1+0\sqrt{2}
está em G (porque 1,0\in\mathbb{Q}). Para x=a+b\sqrt2\in G tem-se
(1+0\sqrt2)\cdot(a+b\sqrt2)=(1\cdot a+2\cdot 0\cdot b)+(1\cdot b+0\cdot a)\sqrt2=a+b\sqrt2.
Logo 1 é o elemento neutro de G.

Passo 6

Se x=a+b\sqrt2\in G com x\neq0, procuramos um y\in G tal que x\cdot y=1.
Uma técnica clássica é multiplicar pelo “conjugado” a-b\sqrt2. Calculemos
(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)=a^2-2b^2.
Queremos um y tal que y=\dfrac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}. Vamos verificar que isso funciona e que pertence a G.
Primeiro, precisamos garantir que o denominador não seja zero. Se a^2-2b^2=0 e b\neq0 então \left(\dfrac{a}{b}\right)^2=2, ou seja, \dfrac{a}{b}=\pm\sqrt2. Mas \dfrac{a}{b} seria racional e \sqrt2 é irracional, contradição. Se b=0 então a\neq0 (pois x\neq0) e então a^2-2b^2=a^2\neq0. Portanto a^2-2b^2\neq0.
Agora escrevemos o inverso explicitamente:
x^{-1}=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}.
Como a,b e a^2-2b^2 são racionais, os coeficientes \dfrac{a}{a^2-2b^2} e \dfrac{-b}{a^2-2b^2} são racionais. Logo x^{-1} tem a forma \alpha+\beta\sqrt2 com \alpha,\beta\in\mathbb{Q}, isto é, x^{-1}\in G.
Para checar que é realmente o inverso multiplica-se:
x\cdot x^{-1}=(a+b\sqrt2)\cdot\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}=\frac{a^2-2b^2}{a^2-2b^2}=1.
Assim todo elemento de G tem inverso em G.

Passo 7

A fórmula do produto mostra simetricamente que
(a+b\sqrt2)\cdot(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2=(ca+2db)+(cb+da)\sqrt2=(c+d\sqrt2)\cdot(a+b\sqrt2).
Ou, de forma mais direta, a multiplicação em \mathbb{R} é comutativa, e a operação dada coincide com a multiplicação usual, logo o produto é comutativo em G.

Passo 8

Verificámos fechamento, associatividade, elemento identidade, existência de inversos e comutatividade. Portanto G com a operação dada é um grupo abeliano.

Resposta

G é um grupo abeliano sob o produto dado.

Exercícios relacionados