Mostre que o conjunto
, munido do produto
é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado pede para provar que o conjunto
é um grupo abeliano quando equipado com o produto dado por
Informações relevantes dadas:
- Cada elemento de
tem a forma com . - O produto entre dois tais elementos é a fórmula acima (que coincide com a multiplicação usual em
). - O ambientede
é , ou seja, todos os elementos considerados são não nulos.
O que devemos mostrar:
- Verificar as propriedades de grupo: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade.
- Verificar que o produto é comutativo (para ser abeliano).
Passo 2
Lembrete rápido (definições e ferramentas que iremos usar, explicado devagar):
- Um conjunto com uma operação binária é um grupo se satisfaz quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inverso para todo elemento.
- O grupo é abeliano se além disso a operação for comutativa.
- Uma observação útil: a fórmula dada para o produto é exatamente a multiplicação usual de números reais quando interpretamos
como um número real. Isto nos permite usar propriedades da multiplicação real (associatividade e comutatividade), mas eu também vou mostrar explicitamente a forma das componentes para mostrar fechamento e inverso dentro de .
Passo 3
Tomemos dois elementos quaisquer de
:
com
e
.
Ao multiplicá-los usamos a fórmula dada:
Ao multiplicá-los usamos a fórmula dada:
Aqui
e
são somas e produtos de números racionais, logo pertencem a
. Portanto o produto tem a forma
com
, ou seja,
.
Além disso,
porque é o produto usual de dois reais não nulos. Como
, concluímos que o produto fica em
. Assim o fechamento está verificado.
Passo 4
A expressão do produto coincide exatamente com a multiplicação usual de reais:
computada normalmente dá a mesma identidade algébrica escrita no enunciado. Como a multiplicação real é associativa, para quaisquer
vale
Portanto a associatividade se herda da associatividade da multiplicação em
.
Passo 5
Verifiquemos o neutro multiplicativo. O número
está em
(porque
). Para
tem-se
Logo
é o elemento neutro de
.
Passo 6
Se
com
, procuramos um
tal que
.
Uma técnica clássica é multiplicar pelo “conjugado” . Calculemos
Uma técnica clássica é multiplicar pelo “conjugado”
Queremos um
tal que
. Vamos verificar que isso funciona e que pertence a
.
Primeiro, precisamos garantir que o denominador não seja zero. Se
e
então
, ou seja,
. Mas
seria racional e
é irracional, contradição. Se
então
(pois
) e então
. Portanto
.
Agora escrevemos o inverso explicitamente:
Como
e
são racionais, os coeficientes
e
são racionais. Logo
tem a forma
com
, isto é,
.
Para checar que é realmente o inverso multiplica-se:
Assim todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 7
A fórmula do produto mostra simetricamente que
Ou, de forma mais direta, a multiplicação em
é comutativa, e a operação dada coincide com a multiplicação usual, logo o produto é comutativo em
.
Passo 8
Verificámos fechamento, associatividade, elemento identidade, existência de inversos e comutatividade. Portanto
com a operação dada é um grupo abeliano.