Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam
e
matrizes.
(ii) Se
está definida e é uma matriz quadrada, então
está definida.
(ii) Se
Passo 1
O enunciado pede para analisar a afirmação sobre produtos de matrizes: “Se
está definida e é uma matriz quadrada, então
está definida.” O conteúdo aqui é a condição de existência do produto de matrizes e a determinação de dimensões das matrizes resultantes.
Passo 2
Seja
uma matriz de dimensão
e
uma matriz de dimensão
. A condição para
existir é que o número de colunas de
(que é
) coincida com o número de linhas de
(também
). Nesse caso, o produto
é definido e tem dimensão
Passo 3
O enunciado afirma que
é quadrada, ou seja, suas dimensões satisfazem
. Logo
é
e
é
. Agora, ao considerarmos o produto
vemos que ele envolve uma matriz de dimensão
(
) multiplicada por uma de dimensão
(
). Como o número de colunas de
(
) coincide com o número de linhas de
(
), o produto
está definido e tem dimensão
.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
está definida e é quadrada, então necessariamente
está definida.