Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam A e B matrizes.
(ii) Se A B está definida e é uma matriz quadrada, então B A está definida.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a afirmação sobre produtos de matrizes: “Se AB está definida e é uma matriz quadrada, então BA está definida.” O conteúdo aqui é a condição de existência do produto de matrizes e a determinação de dimensões das matrizes resultantes.

Passo 2

Seja A uma matriz de dimensão rtimes s e B uma matriz de dimensão stimes t. A condição para AB existir é que o número de colunas de A (que é s) coincida com o número de linhas de B (também s). Nesse caso, o produto
AB
é definido e tem dimensão
rtimes t

Passo 3

O enunciado afirma que AB é quadrada, ou seja, suas dimensões satisfazem r = t. Logo A é rtimes s e B é stimes r. Agora, ao considerarmos o produto
BA,
vemos que ele envolve uma matriz de dimensão stimes r ( B) multiplicada por uma de dimensão rtimes s ( A). Como o número de colunas de B ( r) coincide com o número de linhas de A ( r), o produto BA está definido e tem dimensão stimes s.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se AB está definida e é quadrada, então necessariamente BA está definida.

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