Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
(iv) Se A^2=A e A neq 0, então A é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a verdade da afirmação:
“Seja A matriz quadrada não nula tal que
A^2=A
Então A é invertível.”
O conteúdo é idempotência de matrizes ( A^2=A) e invertibilidade (existência de A^-1). Queremos decidir se toda matriz idempotente e não nula é invertível, ou apresentar um contraexemplo.

Passo 2

Recordando que uma matriz A é invertível exatamente quando det(A)neq 0. Por outro lado, A é idempotente se e somente se seus autovalores lambda satisfazem
lambda^2=lambda,
ou seja, cada lambdain0,1.

Passo 3

Se Aneq 0 for idempotente mas não for a matriz identidade, então existe pelo menos um autovalor lambda=0. Como o determinante é o produto dos autovalores, det(A)=0cdot(cdots)=0. Logo A não é invertível.

Passo 4

Um exemplo concreto em 2times 2 é a projeção no primeiro eixo:
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0
Verificamos:
A^2 = 1 & 0 [3pt] 0 & 0 1 & 0 [3pt] 0 & 0 = 1 & 0 [3pt] 0 & 0 = A,
mas
det(A)=1cdot 0-0cdot 0=0,
portanto A não é invertível.]

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
A = 1 & 0 [3pt] 0 & 0,
que satisfaz A^2=A e Aneq 0, mas não é invertível.]

Exercícios relacionados