Em cada caso, mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. Assuma em todo o exercício que
e
são matrizes quadradas do mesmo tamanho.
(iv)
e
, então
é invertível.
(iv)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a verdade da afirmação:
“Seja matriz quadrada não nula tal que
“Seja
Então
é invertível.”
O conteúdo é idempotência de matrizes ( ) e invertibilidade (existência de
). Queremos decidir se toda matriz idempotente e não nula é invertível, ou apresentar um contraexemplo.
O conteúdo é idempotência de matrizes (
Passo 2
Recordando que uma matriz
é invertível exatamente quando
. Por outro lado,
é idempotente se e somente se seus autovalores
satisfazem
ou seja, cada
.
Passo 3
Se
for idempotente mas não for a matriz identidade, então existe pelo menos um autovalor
. Como o determinante é o produto dos autovalores,
. Logo
não é invertível.
Passo 4
Um exemplo concreto em
é a projeção no primeiro eixo:
Verificamos:
mas
portanto
não é invertível.]
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
que satisfaz
e
, mas não é invertível.]