Para que valores de k o sistema llx+k y+2 z & =0 -2 x+y-4 z & =0 x-3 y-k z & =0 admite soluções não triviais (ou seja, é indeterminado)?

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para os quais o sistema homogêneo
x + k y + 2 z = 0, -2x + y -4 z = 0, x -3y - k z = 0
admita soluções não triviais. Conteúdo: sistemas lineares homogêneos e determinantes. Para existir solução não trivial, o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = 1 & k & 2 -2 & 1 & -4 1 & -3 & -k
e impomos a condição
det(A)=0

Passo 3

Calculamos det(A) pela expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet1 & -4-3 & -k - kcdotdet-2 & -41 & -k +2cdotdet-2 & 11 & -3
Agora cada menor:
det1 & -4-3 & -k =1cdot(-k)-(-4)cdot(-3)=-k-12,
det-2 & -41 & -k =(-2)(-k)-(-4)cdot1=2k+4,
det-2 & 11 & -3 =(-2)(-3)-1cdot1=6-1=5
Substituindo:
det(A)=(-k-12)-k(2k+4)+2cdot5=-k-12-2k^2-4k+10
Agrupando termos:
det(A)=-2k^2-5k-2

Passo 4

Impondo det(A)=0:
-2k^2-5k-2=0 Long<=ftrightarrow 2k^2+5k+2=0
Resolvendo a equação quadrática:
k=-5pmraiz5^2-4cdot2cdot22cdot2 =-5pmraiz25-164 =-5pm34
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k=-tfrac12 ou k=-2

Resposta

k=-2 ou k=-tfrac12.

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