Discuta o sistema lx+k y=2 k x+y=2, segundo os valores de k.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro
O conteúdo aqui é a discussão de existência e unicidade de solução de um sistema . Para resolver, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e aplicar o critério de Cramer e as condições de sistemas compatíveis ou não.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
De<a = 1 & k k & 1 =1cdot1 - kcdot k =1 - k^2

Passo 3

Se De<aneq0, isto é, se k^2neq1, o sistema tem solução única dada pelas regras de Cramer. Calculamos
x = 2 & k 2 & 1 De<a = 2cdot1 - kcdot21 - k^2 = 2(1 - k)(1 - k)(1 + k) = 21 + k,
y = 1 & 2 k & 2 De<a = 1cdot2 - 2cdot k1 - k^2 = 2(1 - k)(1 - k)(1 + k) = 21 + k
Logo, para k^2neq1 o sistema tem solução única
(x,y) = l(tfrac21 + k,,tfrac21 + kr)

Passo 4

Caso k=1: o determinante De<a=1-1^2=0. O sistema fica
x + y = 2, x + y = 2,
duas equações idênticas. Isso significa infinitas soluções ao longo da reta
x + y = 2

Passo 5

Caso
Somando as duas equações, obtemos (0 = 4], uma contradição. Portanto, não há nenhuma solução.

Resposta

Para o sistema
x + k,y = 2, k,x + y = 2,
temos:
bul<=t Se k^2neq1, solução única (x,y)=l(tfrac21+k,tfrac21+kr).
bul<=t Se k=1, infinitas soluções dadas por x+y=2.
bul<=t Se k=-1, sistema impossível (sem solução).

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