Exercício 3. Considere o conjunto V=(x1, x2) ; x1, x2 in R. Mostre que (V,+, cdot) O é um espaço vetorial sobre R, quando munido de cada uma das seguintes operações oplus e odot :
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1, x2) e lambda odot(x1, x2)=(lambda x1, lambda x2).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x1,x2) mid x1,x2inR
com a “adição”
(x1,x2)oplus(y1,y2) = (x1,x2)
e a multiplicação escalar usual
lambdaodot(x1,x2) = (lambda x1,,lambda x2);
Para ser um espaço vetorial sobre R, é preciso que (V,oplus) seja um grupo abeliano e que odot satisfaça as leis de distributividade, associatividade, etc. Basta mostrar que pelo menos um dos axiomas de grupo abeliano falha.

Passo 2

Verificamos a comutatividade de oplus. Tomemos dois vetores
u=(x1,x2), v=(y1,y2)
Em geral uneq v. Então
uoplus v = u, voplus u = v
e, se uneq v, temos
uoplus v neq voplus u;
Logo oplus não é comutativa, violando um dos axiomas de grupo abeliano.

Passo 3

Mesmo sem comutatividade, poderíamos tentar ver se existe elemento neutro para oplus. Suponha que haja z=(z1,z2) tal que para todo uin V valha
uoplus z = u e zoplus u = u;
Pela definição, uoplus z=u ocorre sempre, mas zoplus u=z. Exigir zoplus u = u implica
z = uforall,uin V,
o que é impossível. Logo não existe elemento neutro em (V,oplus).

Passo 4

Como oplus falha em ser comutativa e não admite elemento neutro, (V,oplus) nem mesmo é um grupo abeliano. Portanto (V,oplus,odot) não pode ser um espaço vetorial sobre R.

Resposta

(V,oplus,odot) não é espaço vetorial sobre R, pois falta comutatividade em oplus e não existe elemento neutro aditivo.

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