Exercício 3. Considere o conjunto
. Mostre que
NÃ
é um espaço vetorial sobre
, quando munido de cada uma das seguintes operações
:
e
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a “adição”
e a multiplicação escalar usual
Para ser um espaço vetorial sobre
, é preciso que
seja um grupo abeliano e que
satisfaça as leis de distributividade, associatividade, etc. Basta mostrar que pelo menos um dos axiomas de grupo abeliano falha.
Passo 2
Verificamos a comutatividade de
. Tomemos dois vetores
Em geral
. Então
e, se
, temos
Logo
não é comutativa, violando um dos axiomas de grupo abeliano.
Passo 3
Mesmo sem comutatividade, poderíamos tentar ver se existe elemento neutro para
. Suponha que haja
tal que para todo
valha
Pela definição,
ocorre sempre, mas
. Exigir
implica
o que é impossível. Logo não existe elemento neutro em
.
Passo 4
Como
falha em ser comutativa e não admite elemento neutro,
nem mesmo é um grupo abeliano. Portanto
não pode ser um espaço vetorial sobre
.