Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam A e B matrizes.
(i) Se A B está definida, então B A está definida.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes A e B, a existência do produto AB implica que o produto BA também exista. O conteúdo aqui é a compatibilidade de dimensões: duas matrizes X de dimensão mtimes n e Y de dimensão ptimes q podem ser multiplicadas na ordem XY exatamente quando n=p.

Passo 2

Vamos dar um contraexemplo. Seja
A = 1 & 2,
que é uma matriz 1times 2, e
B = 3 & 4 & 5 [6pt] 6 & 7 & 8,
que é uma matriz 2times 3.
– O produto AB está definido porque o número de colunas de A (que é 2) coincide com o número de linhas de B (que também é 2), e resulta numa matriz 1times 3.
– Já o produto BA exigiria que o número de colunas de B (que é 3) fosse igual ao número de linhas de A (que é 1). Como 3 neq 1, o produto BA não está definido.]

Resposta

A afirmação é falsa, como mostra o contraexemplo acima.

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