Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesmo tamanho. Mostre que se A B=A e B A=B, então A^2=A e B^2=B.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho e satisfazem
AB = A e BA = B
O objetivo é mostrar que ambas são idempotentes, isto é,
A^2 = A e B^2 = B
Vamos usar apenas a associatividade da multiplicação de matrizes e as igualdades dadas.

Passo 2

Prova de A^2 = A.
Partimos de AB = A e multiplicamos à direita por A:
A^2 ;=; A,A ;=; (AB)A ;=; A,(BA) ;=; A,B ;=; A,
onde usamos em cada passo, respectivamente, associatividade, AB=A, BA=B e de novo AB=A.

Passo 3

Prova de B^2 = B.
Partimos de BA = B e multiplicamos à direita por B:
B^2 ;=; B,B ;=; (BA)B ;=; B,(AB) ;=; B,A ;=; B,
onde usamos associatividade, BA=B, AB=A e novamente BA=B.

Resposta

A^2 = A e B^2 = B

Exercícios relacionados