Sejam
e
duas matrizes quadradas de mesmo tamanho. Mostre que se
e
, então
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas de mesmo tamanho e satisfazem
O objetivo é mostrar que ambas são idempotentes, isto é,
Vamos usar apenas a associatividade da multiplicação de matrizes e as igualdades dadas.
Passo 2
Prova de
.
Partimos de e multiplicamos à direita por
:
Partimos de
onde usamos em cada passo, respectivamente, associatividade,
,
e de novo
.
Passo 3
Prova de
.
Partimos de e multiplicamos à direita por
:
Partimos de
onde usamos associatividade,
,
e novamente
.