Sabendo que a matriz de uma transformação linear T: R^3 R^2 nas bases A=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) do R^3 e B=(2,1),(5,3) e do R^2 é:
[T]B^A=[ccc -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5 ]
Encontre a expressão de T(x, y, z) e a matriz [T].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^2 com a matriz dada nas bases específicas A e B . Nosso objetivo é descobrir como essa transformação funciona no dia a dia, ou seja, encontrar a expressão de T(x, y, z) e a matriz padrão [T] . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e como relacionar a matriz dada com a matriz padrão da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as bases envolvidas. A base A de R^3 é composta pelos vetores (1,1,1) , (0,1,1) e (0,0,1) . Já a base B de R^2 tem os vetores (2,1) e (5,3) . Essas bases não são as bases padrão, então precisamos criar as matrizes de mudança de base para converter a matriz de T para a matriz padrão.

Passo 3

Vamos criar a matriz de mudança de base de A para a base padrão de R^3 , que chamaremos de [I]A . Essa matriz tem como colunas os vetores da base A :
[I]A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Precisamos também da matriz de mudança de base de B para a base padrão de R^2 , que será [I]B :
[I]B = 2 & 5 1 & 3

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inversa de [I]A , que é [I]A^-1 . Calculando a inversa dessa matriz 3x3, obtemos:
[I]A^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1

Passo 5

Com todas as matrizes prontas, podemos calcular a matriz padrão [T] usando a seguinte fórmula:
[T] = [I]B cdot [T]B^A cdot [I]A^-1
Substituindo as matrizes que já conhecemos:
[T] = 2 & 5 1 & 3 cdot -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5 cdot 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
2 & 5 1 & 3 cdot -4 & 5 & 13 2 & -2 & -5 = (2)(-4) + (5)(2) & (2)(5) + (5)(-2) & (2)(13) + (5)(-5) (1)(-4) + (3)(2) & (1)(5) + (3)(-2) & (1)(13) + (3)(-5) = -8 + 10 & 10 - 10 & 26 - 25 -4 + 6 & 5 - 6 & 13 - 15 = 2 & 0 & 1 2 & -1 & -2
Agora multiplicamos o resultado pela inversa de [I]A :
2 & 0 & 1 2 & -1 & -2 cdot 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1 = (2)(1) + (0)(-1) + (1)(0) & (2)(0) + (0)(1) + (1)(-1) & (2)(0) + (0)(0) + (1)(1) (2)(1) + (-1)(-1) + (-2)(0) & (2)(0) + (-1)(1) + (-2)(-1) & (2)(0) + (-1)(0) + (-2)(1) = 2 + 0 + 0 & 0 + 0 -1 & 0 + 0 + 1 2 + 1 + 0 & 0 -1 + 2 & 0 + 0 -2 = 2 & -1 & 1 3 & 1 & -2
Então, a matriz padrão [T] é:
[T] = 2 & -1 & 1 3 & 1 & -2

Passo 6

Agora que temos a matriz padrão [T] , podemos encontrar a expressão de T(x, y, z) . Para isso, multiplicamos a matriz [T] pelo vetor (x, y, z) :
T(x, y, z) = [T] cdot x y z = 2 & -1 & 1 3 & 1 & -2 cdot x y z = 2x - y + z 3x + y - 2z

Resposta

A expressão da transformação é:
T(x, y, z) = 2x - y + z 3x + y - 2z
E a matriz padrão de T é:
[T] = 2 & -1 & 1 3 & 1 & -2

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