Sabendo que a matriz de uma transformação linear nas bases do e e do é:
Encontre a expressão de T(x, y, z) e a matriz [T].
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^2 com a matriz dada nas bases específicas A e B . Nosso objetivo é descobrir como essa transformação funciona no dia a dia, ou seja, encontrar a expressão de T(x, y, z) e a matriz padrão [T] . Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudança de base e como relacionar a matriz dada com a matriz padrão da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as bases envolvidas. A base A de R^3 é composta pelos vetores (1,1,1) , (0,1,1) e (0,0,1) . Já a base B de R^2 tem os vetores (2,1) e (5,3) . Essas bases não são as bases padrão, então precisamos criar as matrizes de mudança de base para converter a matriz de T para a matriz padrão.
Passo 3
Vamos criar a matriz de mudança de base de A para a base padrão de R^3 , que chamaremos de [I]A . Essa matriz tem como colunas os vetores da base A :
[I]A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Precisamos também da matriz de mudança de base de B para a base padrão de R^2 , que será [I]B :
[I]B = 2 & 5 1 & 3
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inversa de [I]A , que é [I]A^-1 . Calculando a inversa dessa matriz 3x3, obtemos:
[I]A^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Passo 5
Com todas as matrizes prontas, podemos calcular a matriz padrão [T] usando a seguinte fórmula: