Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal que representa o operador e a base de autovetores correspondentes (a matriz ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e uma base para os autoespaços do operador linear definido por
Além disso, precisamos verificar se é diagonalizável e, se for, encontrar a matriz diagonal que representa e a matriz cuja coluna é a base de autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores, autovetores e diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, observamos como age sobre os vetores . Escrevendo isso em forma matricial:
Então, a matriz de T é:
A = 0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de T , precisamos resolver a equação característica, que é:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores. Vamos montar A - lambda I :
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = 0
Passo 4
Vamos resolver a equação cúbica lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = 0 para encontrar os autovalores. Tentar valores inteiros possíveis, como divisores de 4, que são lambda = 1, 2, 4 .
Testando lambda = 1 :
1 - 5 + 8 - 4 = 0 Rightarrow 0 = 0
Então, lambda = 1 é um autovalor. Agora, vamos fatorar lambda - 1 da equação cúbica usando divisão polinomial ou fatoração:
lambda1 = 1 e lambda2 = 2 (repetido, mu<iplicidade 2)
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes, ou seja, as bases para os autoespaços.
Para [\lambda = 1):
Resolvemos :
Montando o sistema de equações:
Da primeira equação: (-x - 2z = 0 \Rightarrow x = -2z]
Da terceira equação: [x + 2z = 0 \Rightarrow x = -2z) (confirma a primeira)
Da segunda equação:
Então, podemos definir , e os autovetores são da forma:
Portanto, uma base para o autoespaço de é .
Para :
Resolvemos :
Montando o sistema de equações:
Da segunda equação: (x = -z]
Da primeira equação: (confirma)
Então, é livre, pois não aparece nas equações. Podemos definir e .
Portanto, os autovetores são da forma:
Assim, uma base para o autoespaço de é .
Passo 6
Agora, vamos verificar se o operador T é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se a soma das multiplicidades dos autovalores for igual à dimensão do espaço, ou seja, se conseguirmos encontrar uma base completa de autovetores.
Aqui, temos:
lambda1 = 1 com multiplicidade 1 e uma base de autovetores -2 1 1 .
lambda2 = 2 com multiplicidade 2 e uma base de autovetores -1 0 1 , 0 1 0 .
Totalizamos 3 autovetores independentes em R^3 , então T é diagonalizável.
Passo 7
Como T é diagonalizável, podemos construir a matriz diagonal D e a matriz P dos autovetores.
A matriz D terá os autovalores na diagonal:
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
A matriz P será formada pelos autovetores como colunas:
P = -2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Resposta
Os autovalores de T são lambda = 1 e lambda = 2 . Uma base para o autoespaço de lambda = 1 é -2 1 1 e para lambda = 2 é -1 0 1 , 0 1 0 . O operador T é diagonalizável, e sua representação diagonal é