Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(-2 z, x+2 y+z, x+3 z)
Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador T é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal D que representa o operador T e a base de autovetores correspondentes (a matriz P ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e uma base para os autoespaços do operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z) = (-2z, , x + 2y + z, , x + 3z)
Além disso, precisamos verificar se T é diagonalizável e, se for, encontrar a matriz diagonal D que representa T e a matriz P cuja coluna é a base de autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores, autovetores e diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T como uma matriz. Para isso, observamos como T age sobre os vetores (x, y, z) . Escrevendo isso em forma matricial:
T x y z = -2z x + 2y + z x + 3z = 0x + 0y - 2z 1x + 2y + 1z 1x + 0y + 3z
Então, a matriz de T é:
A = 0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de T , precisamos resolver a equação característica, que é:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores. Vamos montar A - lambda I :
A - lambda I = 0 - lambda & 0 & -2 1 & 2 - lambda & 1 1 & 0 & 3 - lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = ( -lambda ) cdot ( (2 - lambda)(3 - lambda) - (1)(0) ) - 0 cdot () + (-2) cdot (1 cdot 0 - (2 - lambda) cdot 1 )
Simplificando:
= -lambda cdot ( (2 - lambda)(3 - lambda) ) - 2 cdot ( - (2 - lambda) )
= -lambda cdot (6 - 5lambda + lambda^2) + 2(2 - lambda)
= -6lambda + 5lambda^2 - lambda^3 + 4 - 2lambda
= -lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 4
Então, a equação característica é:
-lambda^3 + 5lambda^2 - 8lambda + 4 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação cúbica lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = 0 para encontrar os autovalores. Tentar valores inteiros possíveis, como divisores de 4, que são lambda = 1, 2, 4 .
Testando lambda = 1 :
1 - 5 + 8 - 4 = 0 Rightarrow 0 = 0
Então, lambda = 1 é um autovalor. Agora, vamos fatorar lambda - 1 da equação cúbica usando divisão polinomial ou fatoração:
lambda^3 - 5lambda^2 + 8lambda - 4 = (lambda - 1)(lambda^2 - 4lambda + 4)
Agora, resolvemos lambda^2 - 4lambda + 4 = 0 :
lambda = 4 pm raiz16 - 162 = 42 = 2
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 1 e lambda2 = 2 (repetido, mu<iplicidade 2)

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes, ou seja, as bases para os autoespaços.
Para [\lambda = 1):
Resolvemos :
Montando o sistema de equações:
Da primeira equação: (-x - 2z = 0 \Rightarrow x = -2z]
Da terceira equação: [x + 2z = 0 \Rightarrow x = -2z) (confirma a primeira)
Da segunda equação:
Então, podemos definir , e os autovetores são da forma:
Portanto, uma base para o autoespaço de é .
Para :
Resolvemos :
Montando o sistema de equações:
Da segunda equação: (x = -z]
Da primeira equação: (confirma)
Então, é livre, pois não aparece nas equações. Podemos definir e .
Portanto, os autovetores são da forma:
Assim, uma base para o autoespaço de é .

Passo 6

Agora, vamos verificar se o operador T é diagonalizável. Um operador linear é diagonalizável se a soma das multiplicidades dos autovalores for igual à dimensão do espaço, ou seja, se conseguirmos encontrar uma base completa de autovetores.
Aqui, temos:
  • lambda1 = 1 com multiplicidade 1 e uma base de autovetores -2 1 1 .
  • lambda2 = 2 com multiplicidade 2 e uma base de autovetores -1 0 1 , 0 1 0 .
Totalizamos 3 autovetores independentes em R^3 , então T é diagonalizável.

Passo 7

Como T é diagonalizável, podemos construir a matriz diagonal D e a matriz P dos autovetores.
A matriz D terá os autovalores na diagonal:
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
A matriz P será formada pelos autovetores como colunas:
P = -2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0

Resposta

Os autovalores de T são lambda = 1 e lambda = 2 . Uma base para o autoespaço de lambda = 1 é -2 1 1 e para lambda = 2 é -1 0 1 , 0 1 0 . O operador T é diagonalizável, e sua representação diagonal é
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 ,
com a matriz P dos autovetores sendo
P = -2 & -1 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0

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