Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam
e
matrizes.
Se
, então
e
são ambas quadradas e de mesmo tamanho.
Se
Passo 1
O enunciado diz: sejam
e
matrizes tais que
A afirmação a provar é que, necessariamente,
e
são quadradas e têm a mesma ordem. Vamos usar as condições de existência do produto de matrizes e comparar dimensões para chegar à conclusão.
Passo 2
Seja
de tamanho
e
de tamanho
.
Para que o produto exista, é preciso que o número de colunas de
seja igual ao número de linhas de
, ou seja,
Para que o produto
Nesse caso,
é uma matriz
.
Para que o produto
exista, é preciso que o número de colunas de
seja igual ao número de linhas de
, ou seja,
Nesse caso,
é uma matriz
.
Passo 3
Como assumimos
, as duas matrizes devem não só existir mas também ter a mesma dimensão. Logo, os tamanhos
e
devem coincidir, o que impõe
Recapitulando todas as igualdades obtidas:
Dessas segue
Portanto,
e
são ambas matrizes
.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
então
e
são matrizes quadradas da mesma ordem.