Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam A e B matrizes.
Se A B=B A, então A e B são ambas quadradas e de mesmo tamanho.

Passo 1

O enunciado diz: sejam A e B matrizes tais que
A B = B A
A afirmação a provar é que, necessariamente, A e B são quadradas e têm a mesma ordem. Vamos usar as condições de existência do produto de matrizes e comparar dimensões para chegar à conclusão.

Passo 2

Seja A de tamanho mtimes n e B de tamanho ptimes q.
Para que o produto AB exista, é preciso que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B, ou seja,
n = p
Nesse caso, AB é uma matriz mtimes q.
Para que o produto BA exista, é preciso que o número de colunas de B seja igual ao número de linhas de A, ou seja,
q = m
Nesse caso, BA é uma matriz ptimes n.

Passo 3

Como assumimos AB = BA, as duas matrizes devem não só existir mas também ter a mesma dimensão. Logo, os tamanhos mtimes q e ptimes n devem coincidir, o que impõe
m = p e q = n
Recapitulando todas as igualdades obtidas:
n = p, q = m, m = p, q = n
Dessas segue
m = n = p = q
Portanto, A e B são ambas matrizes ntimes n.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se AB=BA então A e B são matrizes quadradas da mesma ordem.

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