Dizemos que duas matrizes quadradas de mesmo tamanho
e
comutam se
. Encontre todas as matrizes de tamanho
que comutam com:
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes
XinR^2times2 que comutam com
isto é, satisfazem
O conteúdo usado será álgebra matricial básica: montar
X genérica, calcular
XM e
MX e igualar entradas.
Passo 2
Seja
com
. Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculemos primeiro
Em seguida
Passo 4
Impor
XM = MX gera o sistema
As duas primeiras equações já dão
e as outras confirmam as mesmas condições. Logo
Passo 5
Substituindo em
obtemos
com
. Essas são todas as matrizes que comutam com
.
Resposta
Todas as matrizes que comutam com
são
onde
.