Dizemos que duas matrizes quadradas de mesmo tamanho A e B comutam se A B=B A. Encontre todas as matrizes de tamanho 2 times 2 que comutam com:
[ll1 & 1 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes XinR^2times2 que comutam com
M = 1 & 11 & 1,
isto é, satisfazem
XM = MX
O conteúdo usado será álgebra matricial básica: montar X genérica, calcular XM e MX e igualar entradas.

Passo 2

Seja
com . Vamos calcular e .

Passo 3

Calculemos primeiro
Em seguida

Passo 4

Impor XM = MX gera o sistema
a + b = a + c, a + b = b + d, c + d = a + c, c + d = b + d
As duas primeiras equações já dão
c = b, d = a,
e as outras confirmam as mesmas condições. Logo
c=b e d=a

Passo 5

Substituindo em obtemos
com . Essas são todas as matrizes que comutam com .

Resposta

Todas as matrizes que comutam com são
onde .

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