Sejam
e
duas matrizes quadradas de mesmo tamanho. Se
, mostre que valem as seguintes igualdades:
Reciprocamente, mostre que se alguma das igualdades anteriores for válida, então
.
Passo 1
O enunciado trabalha com matrizes quadradas
e
de mesmo tamanho e usa álgebra de matrizes (propriedades distributiva e associativa). Queremos provar as fórmulas de expansão de
,
e
sob a hipótese de comutatividade
e, reciprocamente, mostrar que qualquer uma dessas igualdades implica
.
Passo 2
Expandimos
usando distributividade:
Se
, então
e obtemos
Passo 3
Analogamente, para
:
Sob
temos
, logo
Passo 4
Para
usamos distributividade:
Como
, os termos
se cancelam e sobra
Passo 5
Reciprocalmente, suponha por exemplo que
Mas da expansão sem assumir comutatividade temos
Comparando as duas expressões,
, o que implica
. De modo idêntico, cada uma das outras igualdades força
.
Resposta
Mostramos que se
valem
e, reciprocamente, qualquer uma dessas igualdades basta para garantir
.