Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesmo tamanho. Se A B=B A, mostre que valem as seguintes igualdades:
(A+B)^2=A^2+B^2+2 A B, (A-B)^2=A^2+B^2-2 A B, (A+B)(A-B)=A^2-B^2
Reciprocamente, mostre que se alguma das igualdades anteriores for válida, então A B=B A.

Passo 1

O enunciado trabalha com matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho e usa álgebra de matrizes (propriedades distributiva e associativa). Queremos provar as fórmulas de expansão de (A+B)^2, (A-B)^2 e (A+B)(A-B) sob a hipótese de comutatividade AB=BA e, reciprocamente, mostrar que qualquer uma dessas igualdades implica AB=BA.

Passo 2

Expandimos (A+B)^2 usando distributividade:
(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A A + A B + B A + B B = A^2 + AB + BA + B^2
Se AB=BA, então AB+BA = 2,AB e obtemos
(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2,AB

Passo 3

Analogamente, para (A-B)^2:
(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - A B - B A + B^2
Sob AB=BA temos -AB - BA = -2,AB, logo
(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2,AB

Passo 4

Para (A+B)(A-B) usamos distributividade:
(A+B)(A-B) = A^2 - A B + B A - B^2
Como AB=BA, os termos -AB + BA se cancelam e sobra
(A+B)(A-B) = A^2 - B^2

Passo 5

Reciprocalmente, suponha por exemplo que
(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2,AB
Mas da expansão sem assumir comutatividade temos
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
Comparando as duas expressões, AB+BA = 2,AB, o que implica BA=AB. De modo idêntico, cada uma das outras igualdades força BA=AB.

Resposta

Mostramos que se AB=BA valem
(A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB, (A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB, (A+B)(A-B) = A^2 - B^2,
e, reciprocamente, qualquer uma dessas igualdades basta para garantir AB=BA.

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