Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam A e B matrizes.
Se A tem uma coluna de zeros, então A B tem uma coluna de zeros.

Passo 1

O enunciado trata de multiplicação de matrizes e pergunta se a existência de uma coluna nula em A obriga que AB também tenha alguma coluna nula. Vamos usar a propriedade de que cada coluna de AB é uma combinação linear das colunas de A, com coeficientes dados pelas entradas de B.

Passo 2

Lembrando a propriedade de colunas em produto de matrizes: se A é mtimes n e B é ntimes p, então a k-ésima coluna de AB é
(AB):,k ;=; A ,(B:,k) ;=;sumi=1^n Bi,k,A:,i
Ou seja, cada coluna de AB é soma ponderada das colunas de A.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta achar A que tenha uma coluna nula e algum B tal que nenhuma coluna de AB seja nula. Tome
A = 0 & 1[6pt]0 & 1,
onde a primeira coluna de A é zero, e escolha
B = 1 & 1[4pt]-1 & 1 ]

Passo 4

Vamos calcular AB. Usando combinação linear de colunas de A:
AB = A,B = 0 & 10 & 1 1 & 1-1 & 1 = 0cdot1 + 1cdot(-1) & 0cdot1 + 1cdot1[4pt] 0cdot1 + 1cdot(-1) & 0cdot1 + 1cdot1 = -1 & 1-1 & 1
As colunas de AB são -1-1 e 11, ambas não nulas.]

Passo 5

Achamos, portanto, um exemplo em que A tem coluna nula mas AB não tem nenhuma coluna nula, mostrando que a afirmação geral é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Contra-exemplo:
A = 0 & 10 & 1, B = 1 & 1-1 & 1,
pois
AB = -1 & 1-1 & 1
não tem coluna nula.

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