Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam
e
matrizes.
Se
tem uma coluna de zeros, então
tem uma coluna de zeros.
Se
Passo 1
O enunciado trata de multiplicação de matrizes e pergunta se a existência de uma coluna nula em
obriga que
também tenha alguma coluna nula. Vamos usar a propriedade de que cada coluna de
é uma combinação linear das colunas de
, com coeficientes dados pelas entradas de
.
Passo 2
Lembrando a propriedade de colunas em produto de matrizes: se
é
e
é
, então a
-ésima coluna de
é
Ou seja, cada coluna de
é soma ponderada das colunas de
.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta achar
que tenha uma coluna nula e algum
tal que nenhuma coluna de
seja nula. Tome
onde a primeira coluna de
é zero, e escolha
Passo 4
Vamos calcular
. Usando combinação linear de colunas de
:
As colunas de
são
e
, ambas não nulas.]
Passo 5
Achamos, portanto, um exemplo em que
tem coluna nula mas
não tem nenhuma coluna nula, mostrando que a afirmação geral é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Contra-exemplo:
pois
não tem coluna nula.