Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam A e B matrizes.
Se A^2=A, então A=0 ou A=I.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se toda matriz A que satisfaz
A^2 = A
deve ser necessariamente a matriz nula ou a identidade. O conteúdo envolvido é o estudo de matrizes idempotentes, ou seja, matrizes que verificam A^2=A. Vamos usar autovalores e propriedades de projeções para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Seja lambda um autovalor de A com autovetor não nulo v. Da equação A^2=A temos
A^2 v = A v ;Longrightarrow; lambda^2 v = lambda v ;Longrightarrow; lambda(lambda - 1)v = 0
Como vneq0, segue lambda(lambda-1)=0, ou seja
lambdain0,1
Além disso, o polinômio mínimo de A divide x(x-1), que não tem raízes múltiplas, logo A é diagonalizável e semelhante a
Ir & & 0n-r
para algum r entre 0 e n.

Passo 3

Se r=0 então A=0. Se r=n então A=I. Mas se 0<r<n, a matriz acima é uma projeção de posto r que satisfaz A^2=A e não coincide nem com 0 nem com I. Logo existem idempotentes não-triviais.

Passo 4

Um exemplo explícito em M2(R) é
A = 1 & 0 0 & 0
De fato,
A^2 = 1 & 0 0 & 0 1 & 0 0 & 0 = 1 & 0 0 & 0 = A,
porém Aneq0 e Aneq I.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
A = 1 & 0 0 & 0 ,
que satisfaz A^2=A mas não é nem 0 nem I.

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