Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam e matrizes. , então ou .
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se toda matriz que satisfaz
deve ser necessariamente a matriz nula ou a identidade. O conteúdo envolvido é o estudo de matrizes idempotentes, ou seja, matrizes que verificam . Vamos usar autovalores e propriedades de projeções para decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Seja um autovalor de com autovetor não nulo . Da equação temos
Como , segue , ou seja
Além disso, o polinômio mínimo de divide , que não tem raízes múltiplas, logo é diagonalizável e semelhante a
para algum entre e .
Passo 3
Se então . Se então . Mas se , a matriz acima é uma projeção de posto que satisfaz e não coincide nem com nem com . Logo existem idempotentes não-triviais.