Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam
e
matrizes.
Se
, então
é uma matriz identidade.
Se
Passo 1
O enunciado pede para analisar se, dadas matrizes
e
tais que
segue-se necessariamente que
é a matriz identidade. Para resolver, vamos usar a ideia de cancelamento em matrizes (válido apenas quando
é invertível) e depois dar um exemplo de quando isso falha.
Passo 2
Suponha que
seja invertível. Então, multiplicando à esquerda por
, temos
Portanto, no caso de
ser invertível, de fato qualquer
que satisfaça
deve ser
.
Passo 3
Se
não for invertível, não podemos cancelar
e a afirmação pode falhar. Um contraexemplo imediato é escolher
Então
mas claramente
. Logo, em geral a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, com
temos
mas
.