Em cada caso, demonstre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo que mostre que ela é falsa. Sejam A e B matrizes.
Se A J=A, então J é uma matriz identidade.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se, dadas matrizes A e J tais que
A,J = A,
segue-se necessariamente que J é a matriz identidade. Para resolver, vamos usar a ideia de cancelamento em matrizes (válido apenas quando A é invertível) e depois dar um exemplo de quando isso falha.

Passo 2

Suponha que A seja invertível. Então, multiplicando à esquerda por A^-1, temos
A^-1(A,J)=A^-1A Longrightarrow J=I
Portanto, no caso de A ser invertível, de fato qualquer J que satisfaça A,J=A deve ser J=I.

Passo 3

Se A não for invertível, não podemos cancelar A e a afirmação pode falhar. Um contraexemplo imediato é escolher
A = 0mtimes n, J = 2,In
Então
A,J = 0mtimes n = A,
mas claramente J=2,Inneq In. Logo, em geral a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, com
A = 0mtimes n e J = 2,In,
temos A,J=A mas Jneq In.

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