Teste a continuidade de f(x, y) em (0,0) se:
(a) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2}-4 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para testar a continuidade de f(x,y)\) no ponto \((0,0)\). As informações dadas são:
\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta concreta é: a função f\] é contínua em \((0,0)? Ou seja, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0?]
Passo 2
O que significa ser contínua em (0,0)? Vou explicar de forma simples: a função é contínua em (0,0) se, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho, o valor de f(x,y) se aproxima sempre do mesmo número — e esse número tem de ser f(0,0)=0. Na prática, uma maneira eficiente de testar isso é verificar se o limite quando (x,y)\to(0,0) existe e é independente do caminho. Se eu encontrar dois caminhos que dão limites diferentes, já provei que o limite não existe e, portanto, a função não é contínua no ponto.
Passo 3
Uma ferramenta muito útil aqui é trocar para coordenadas polares. Isso porque tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos de grau 2 (todos os termos têm potência total 2), então o fator radial r^{2} vai aparecer e pode se cancelar. Faço a substituição
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta sendo o ângulo. Para (x,y)\neq(0,0) temos r>0. Agora calculo f em função de r e \theta.
Observe algo importante: o r se cancelou totalmente, então, ao longo de qualquer semirreta com ângulo fixo \theta (ou seja, qualquer caminho que vá ao ponto (0,0) mantendo \theta fixo), o valor de f(x,y) fica constante igual a \cos^{2}\theta - 4\sin^{2}\theta. Assim, o valor limite ao ir radialmente para a origem depende apenas de \theta — ou seja, depende da direção de aproximação.
Passo 5
Se o limite em (0,0) existisse, ele teria de ser o mesmo para todas as direções \theta. Vou mostrar que isso não ocorre, fornecendo duas direções com resultados diferentes.
Aproximando pela reta y=0 (eixo x), isto é \theta=0:
\cos^{2}0 - 4\sin^{2}0 = 1 - 0 = 1.
Logo ao aproximar por y=0 o valor de f tende para 1.
Aproximando pela reta x=0 (eixo y), isto é \theta=\tfrac{\pi}{2}:
Como os dois limites são diferentes (1 e -4), o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Em particular ele não é igual a f(0,0)=0.
Passo 6
Conclusão: o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe porque depende da direção de aproximação. Portanto f não é contínua em (0,0). Força aí — essa ideia de usar coordenadas polares para funções homogeneamente quadráticas é um truque que salva tempo na prova!