A função é f(x,y)=\dfrac{5xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
O denominador \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância do ponto (x,y) à origem e é sempre \ge 0; exceto no próprio ponto (0,0) onde a expressão pode precisar de cuidado (mas queremos o limite, não o valor no ponto).
Precisamos decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro vamos controlar o numerador usando uma desigualdade simples entre x e y. Para isso usamos o fato de que x^{2} e y^{2} são não negativos e a desigualdade aritmética entre soma e raiz quadrada (uma forma do AM–GM para não negativos):
2\sqrt{x^{2}y^{2}} \le x^{2}+y^{2}.
Como \sqrt{x^{2}y^{2}}=|xy|, obtemos
2|xy| \le x^{2}+y^{2},
ou seja
|xy| \le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Explicando por que isso vale: para a=x^{2}\ge 0 e b=y^{2}\ge 0 a desigualdade 2\sqrt{ab}\le a+b é a forma clássica de AM–GM; aqui \sqrt{ab}=\sqrt{x^{2}y^{2}}=|xy|.
Passo 3
Agora aplicamos essa desigualdade à função cujo limite queremos. Tomamos o valor absoluto da função para poder usar um teorema de comparação:
Aplicamos agora o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Sabemos que r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Como \dfrac{5}{2}\,r \to 0, e \left|\dfrac{5xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right| é sempre menor ou igual a \dfrac{5}{2}r, segue que
\frac{5xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\to 0
quando (x,y)\to(0,0). Em palavras: a função fica presa entre -\dfrac{5}{2}r e \dfrac{5}{2}r, e ambos esses limites laterais vão para 0, então a função também tem limite 0.