Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular P, se existir, de modo que D=P^-1 A P seja diagonal.
(Grupo A) A=[ccc1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é trabalhar com autovalores e autovetores de uma matriz. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Nosso objetivo é encontrar os autovalores da matriz A , os autovetores correspondentes, uma base para cada espaço próprio (também chamado de autoespaço) e, se possível, uma matriz P que seja não-singular (ou seja, tenha um inverso) de modo que D = P^-1 A P seja uma matriz diagonal. Isso serve para simplificar bastante a matriz original, facilitando cálculos futuros.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que vem de calcular o determinante de A - lambda I igual a zero. A fórmula é:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - (1)(2)] - 2[(-1)(2 - lambda) - (1)(0)] + 1[(-1)(2) - (3 - lambda)(0)]
Simplificando:
= (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] - 2[-2 + lambda] + 1[-2]

Passo 5

Continuando a simplificação:
Primeiro, expandindo (3 - lambda)(2 - lambda):
(3 - lambda)(2 - lambda) = 6 - 3lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 6
Agora substituindo de volta:
= (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6 - 2) - 2(-2 + lambda) - 2
= (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 4 - 2lambda - 2
= (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) + 2 - 2lambda

Passo 6

Multiplicando (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) :
= 1 cdot (lambda^2 - 5lambda + 4) - lambda (lambda^2 - 5lambda + 4)
= lambda^2 - 5lambda + 4 - lambda^3 + 5lambda^2 - 4lambda
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4
Agora, adicionando os outros termos:
-lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda + 4 + 2 - 2lambda = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6

Passo 7

Então, a equação característica fica:
-lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de lambda .

Passo 8

Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Razões Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores do termo constante (6) sobre os divisores do coeficiente líder (1), ou seja, pm1, pm2, pm3, pm6 .
Testando lambda = 1 :
1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
Então, lambda = 1 é um autovalor.

Passo 9

Agora, vamos fazer a divisão polinomial para fatorar (lambda - 1) da equação:
Dividindo lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 por (lambda - 1) :
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6)
Agora, resolvemos a equação quadrática lambda^2 - 5lambda + 6 = 0 :
lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Então, lambda = 3 e lambda = 2 .

Passo 10

Resumindo, os autovalores de A são:
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 11

Para cada autovalor lambda , resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0 para encontrar o autovetor v .
Para lambda = 1 :
A - I = 0 & 2 & 1 -1 & 2 & 1 0 & 2 & 1
Resolvendo o sistema:
Das linhas 1 e 3, vemos que são iguais:
0x + 2y + z = 0
- x + 2y + z = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
- x = 0 implies x = 0
Da primeira equação:
2y + z = 0 implies z = -2y
Então, o autovetor é:
v1 = 0 y -2y = y 0 1 -2
Podemos escolher y = 1 :
v1 = 0 1 -2

Passo 12

Para lambda = 2 :
A - 2I = -1 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 2 & 0
Resolvendo o sistema:
Da terceira linha:
0x + 2y + 0z = 0 implies y = 0
Substituindo y = 0 na primeira equação:
- x + 0 + z = 0 implies z = x
Então, o autovetor é:
v2 = x 0 x = x 1 0 1
Podemos escolher x = 1 :
v2 = 1 0 1

Passo 13

Para lambda = 3 :
A - 3I = -2 & 2 & 1 -1 & 0 & 1 0 & 2 & -1
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
- x + z = 0 implies z = x
Da terceira equação:
0x + 2y - z = 0 implies 2y = z = x implies y = x2
Da primeira equação:
-2x + 2y + z = -2x + x + x = 0
Consistente. Então, o autovetor é:
v3 = x x2 x = x 1 12 1
Podemos escolher x = 2 para evitar frações:
v3 = 2 1 2

Passo 14

Agora, temos os autovalores e seus respectivos autovetores:
lambda1 = 1, v1 = 0 1 -2
lambda2 = 2, v2 = 1 0 1
lambda3 = 3, v3 = 2 1 2
Esses vetores formam uma base para cada autoespaço correspondente.

Passo 15

Por fim, vamos construir a matriz P com os autovetores como colunas:
P = v1 & v2 & v3 = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 2
Vamos verificar se P é não-singular, ou seja, se seu determinante é diferente de zero.
Calculando det(P) :
det(P) = 0 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 2 - (-2) cdot 1) + 2 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot (-2))
= 0 cdot (-1) - 1 cdot (2 + 2) + 2 cdot (1)
= 0 - 4 + 2 = -2 neq 0
Então, P é não-singular.

Resposta

Encontramos os autovalores lambda1 = 1 , lambda2 = 2 e lambda3 = 3 da matriz A , com os respectivos autovetores v1 = 0 1 -2 , v2 = 1 0 1 e v3 = 2 1 2 . Esses vetores formam uma base para cada autoespaço. A matriz não-singular P que diagonaliza A é:
P = 0 & 1 & 2 1 & 0 & 1 -2 & 1 & 2
E a matriz diagonal D é dada por:
D = P^-1 A P = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

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