Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular , se existir, de modo que seja diagonal.
(Grupo A) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é trabalhar com autovalores e autovetores de uma matriz. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Nosso objetivo é encontrar os autovalores da matriz A , os autovetores correspondentes, uma base para cada espaço próprio (também chamado de autoespaço) e, se possível, uma matriz P que seja não-singular (ou seja, tenha um inverso) de modo que D = P^-1 A P seja uma matriz diagonal. Isso serve para simplificar bastante a matriz original, facilitando cálculos futuros.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que vem de calcular o determinante de A - lambda I igual a zero. A fórmula é:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Agora, vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de lambda .
Passo 8
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Razões Racionais. Os possíveis candidatos são os divisores do termo constante (6) sobre os divisores do coeficiente líder (1), ou seja, pm1, pm2, pm3, pm6 .
Testando lambda = 1 :
1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
Então, lambda = 1 é um autovalor.
Passo 9
Agora, vamos fazer a divisão polinomial para fatorar (lambda - 1) da equação:
Encontramos os autovalores lambda1 = 1 , lambda2 = 2 e lambda3 = 3 da matriz A , com os respectivos autovetores v1 = 0 1 -2 , v2 = 1 0 1 e v3 = 2 1 2 . Esses vetores formam uma base para cada autoespaço. A matriz não-singular P que diagonaliza A é: