Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular P, se existir, de modo que D=P^-1 A P seja diagonal.
(Grupo B) A=[ccc2 & 3 & -1 0 & 1 & -4 0 & 0 & 3].

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização de
A = 2 & 3 & -1 0 & 1 & -4 0 & 0 & 3 ,
isto é, encontrar os autovalores lambda, vetores próprios não-nulos v tais que (A-lambda I)v=0, bases de cada autoespaço, e uma matriz não-singular P que satisfaça
D = P^-1 A P
diagonal. Vamos usar que, para matriz triangular, os autovalores são as entradas da diagonal principal.

Passo 2

Os autovalores são as entradas da diagonal de A, ou seja,
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = 3

Passo 3

Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)v=0:
A - 2I = 0 & 3 & -1 0 & -1 & -4 0 & 0 & 1
As equações são
3y - z = 0, -y -4z = 0, z = 0
Da terceira vem z=0; inserindo na primeira dá 3y=0Rightarrow y=0. Logo x é livre. Um vetor próprio é
v1 = 100
Assim uma base do autoespaço de lambda1 é v1.

Passo 4

Para lambda2=1 resolvemos (A-I)v=0:
A - I = 1 & 3 & -1 0 & 0 & -4 0 & 0 & 2
As equações são
x + 3y - z = 0, -4z = 0, 2z = 0
Temos z=0, e então x = -3y. Tomando y=1 obtemos
v2 = -310
Uma base do autoespaço de lambda2 é v2.

Passo 5

Para lambda3=3 resolvemos (A-3I)v=0:
A - 3I = -1 & 3 & -1 0 & -2 & -4 0 & 0 & 0
As equações são
-x +3y - z = 0, -2y -4z = 0
Da segunda vem y = -2z. Substituindo na primeira dá x = 3(-2z) - z = -7z. Tomando z=1 obtemos
v3 = -7-21
Uma base do autoespaço de lambda3 é v3.

Passo 6

Como os três autovalores são distintos, A é diagonalizável. Tomamos como matriz de passagem
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & -3 & -7 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 ,
que é claramente não-singular (determinante 1). Então
D = P^-1 A P = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

Autovalores: lambda1=2, lambda2=1, lambda3=3.
Bases dos autoespaços:
E2 = span(1,0,0)^T, E1 = span(-3,1,0)^T, E3 = span(-7,-2,1)^T
Matriz de passagem e diagonal:
P = 1 & -3 & -7 0 & 1 & -2 0 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Exercícios relacionados