Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular P, se existir, de modo que D=P^-1 A P seja diagonal.
(Grupo C) A=[ccc1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3].

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A= 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3
ou seja, encontrar seus autovalores, autovetores, uma base de cada autoespaço e uma matriz inversível P tal que
D = P^-1 A P
seja diagonal. O conteúdo principal é cálculo do polinômio característico, solução de sistemas lineares para cada valor próprio e montagem de P.

Passo 2

Para obter o polinômio característico, calculemos
det(A-lambda I) =det 1-lambda & -2 & -2 0 & 1-lambda & 0 0 & 2 & 3-lambda
Como só a primeira linha tem entrada não-nula na primeira coluna, expande-se por essa coluna:
det(A-lambda I) =(1-lambda)det1-lambda & 02 & 3-lambda =(1-lambda)l((1-lambda)(3-lambda)r) =(1-lambda)^2(3-lambda)
Logo o polinômio característico é (1-lambda)^2(3-lambda)=0.

Passo 3

Os autovalores são as raízes de (1-lambda)^2(3-lambda)=0, ou seja
lambda1=1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=3(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Para , resolvemos , ou seja
Da primeira (e terceira) linha vem , logo , isto é , enquanto é livre. Fazendo e obtemos
Uma base do autoespaço de é

Passo 5

Para , resolvemos , ou seja
Da segunda e terceira linha vem . Da primeira surge , logo , isto é . Fazendo obtemos
Uma base do autoespaço de é

Passo 6

Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+1=3, igual à ordem da matriz, A é diagonalizável. Tomamos como colunas de
P
os vetores de cada base em ordem correspondente aos autovalores (1,1,3). Por exemplo,
P= 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 ,
então
D = P^-1AP = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

Autovalores:
lambda=1 (mu< 2), lambda=3 (mu< 1)
Autoespaços e bases:
E1 = ker(A-I) = span(1,0,0)^T,,(0,-1,1)^T, E3 = ker(A-3I) = span(-1,0,1)^T
Matriz de mudança de base e diagonal:
P = 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 0 & 1 & 1 , D = P^-1 A P = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3

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