Questāo 3. (Valor 2,0) Utilize o teorema de Laplace para encontrar o determinante das matrizes e encontre (por qualquer modo válido) as inversas das mesmas:
A=(llll0 & 0 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 4 & 0 & 0 & 0)

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema de Laplace para calcular o determinante da matriz
A = 0 & 0 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 4 & 0 & 0 & 0
e, em seguida, encontrar A^-1 por qualquer método conveniente.

Passo 2

Aplicamos Laplace desenvolvendo ao longo da primeira linha. Só o elemento a1,4=1 é não nulo, logo
det(A) = (-1)^1+4,a1,4,detl(M1,4r) = -1cdot1cdotdetl(M1,4r) = -detl(M1,4r),
onde M1,4 é a submatriz 3times 3 obtida ao eliminar a linha 1 e a coluna 4.

Passo 3

Escrevemos explicitamente
M1,4 = 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2 4 & 0 & 0
Novamente por Laplace na primeira linha de M1,4 só o termo 3 em posição (1,2) contribui, de modo que
det(M1,4) = -3,(-1)^1+2, det!0 & 2[6pt]4 & 0 = -3cdot(-1)cdotl(0-8r) = -3cdot(-1)cdot(-8) = -24
Portanto
det(A) = -l(-24r) = 24
]

Passo 4

Para achar A^-1, notamos que A mapeia os vetores-canônicos da seguinte forma:
A e1 = 4e4, A e2 = 3e2, A e3 = 2e3, A e4 = 1cdot e1
Isso implica
A^-1e1 = e4, A^-1e2 = tfrac13,e2, A^-1e3 = tfrac12,e3, A^-1e4 = tfrac14,e1
Assim as colunas de A^-1 são esses vetores, e obtemos
A^-1 = 0 & 0 & 0 & tfrac14 0 & tfrac13 & 0 & 0 0 & 0 & tfrac12 & 0 1 & 0 & 0 & 0

Resposta

det(A)=24
A^-1 = 0 & 0 & 0 & tfrac14 0 & tfrac13 & 0 & 0 0 & 0 & tfrac12 & 0 1 & 0 & 0 & 0

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