Questāo 3. (Valor 2,0) Utilize o teorema de Laplace para encontrar o determinante das matrizes e encontre (por qualquer modo válido) as inversas das mesmas:
B=(lllla & b & 0 & 0 c & d & 0 & 0 0 & 0 & a & b 0 & 0 & c & d)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
B= a & b & 0 & 0 c & d & 0 & 0 0 & 0 & a & b 0 & 0 & c & d
1) calcular det(B) usando o teorema de Laplace;
2) encontrar B^-1 por um método válido.
O conteúdo envolve expansão de determinante por cofatores e inversão de matrizes em blocos.

Passo 2

Vamos aplicar Laplace na primeira linha de B. Nessa linha só os elementos a (coluna 1) e b (coluna 2) são não nulos. Logo
det(B) = sumj=1^4(-1)^1+jb1jdet(M1j) = adet(M11) ;-; bdet(M12),
onde M1j é o menor obtido eliminando linha 1 e coluna j.

Passo 3

Calcular det(M11). Eliminando a linha 1 e a coluna 1 de B, obtemos o bloco
M11 = d & 0 & 0 0 & a & b 0 & c & d
Como há zeros na primeira coluna de baixo, expandimos por essa coluna ou notamos que é bloco triangular na primeira linha:
det(M11) = d deta & b c & d = d,(ad - bc)

Passo 4

Calcular det(M12). Eliminando linha 1 e coluna 2, fica
M12 = c & 0 & 0 0 & a & b 0 & c & d
De modo similar, só o elemento c na primeira linha contribui, dando
det(M12) = cdeta & b c & d = c,(ad - bc)

Passo 5

Substituindo em det(B)=adet(M11)-bdet(M12), vem
det(B) = al[d(ad-bc)r];-;bl[c(ad-bc)r] =(ad-bc),(ad-bc) =(ad - bc)^2

Passo 6

Para achar , observamos que é bloco-diagonal com dois blocos iguais
Em geral, o inverso de uma matriz bloco-diagonal é , desde que seja invertível.

Passo 7

A inversa do bloco C (matriz 2times2) é
C^-1 =1det(C)d & -b -c & a =1ad-bcd & -b -c & a,
pressupondo ad-bcneq0.

Passo 8

Portanto
B^-1 = C^-1 & 0 [6pt] 0 & C^-1 = 1ad-bc d & -b & 0 & 0 -c & a & 0 & 0 0 & 0 & d & -b 0 & 0 & -c & a ]

Resposta

det(B) = (ad - bc)^2,
B^-1 =1ad - bc d & -b & 0 & 0 -c & a & 0 & 0 0 & 0 & d & -b 0 & 0 & -c & a , (para (ad-bcneq0))

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