Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular P, se existir, de modo que D=P^-1 A P seja diagonal.
(Grupo C) A=[ccc3 & 3 & -2 0 & -1 & 0 8 & 6 & -5].

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores de
A = 3 & 3 & -2 0 & -1 & 0 8 & 6 & -5 ,
os autovetores associados, uma base para cada autoespaço e, se possível, uma matriz inversível P tal que
D = P^-1 A P
seja diagonal. O conteúdo aqui é a diagonalização de matrizes: precisamos do polinômio característico, fatores de raízes, dimensões dos autoespaços e comparar multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Temos
A - lambda I = 3-lambda & 3 & -2 0 & -1-lambda & 0 8 & 6 & -5-lambda
Expandindo pelo método de cofactores na primeira linha:
chiA(lambda) =(3-lambda)det-1-lambda&06&-5-lambda -3det0&08&-5-lambda -2det0&-1-lambda8&6
Calculando cada determinante:
det-1-lambda&06&-5-lambda =(lambda+1)(lambda+5)=lambda^2+6lambda+5,
det0&08&-5-lambda=0,
det0&-1-lambda8&6 =0cdot6 -(-1-lambda)cdot8 =8(lambda+1)
Logo
chiA(lambda) =(3-lambda)(lambda^2+6lambda+5) -2cdot8(lambda+1)
Fazendo as contas:
(3-lambda)(lambda^2+6lambda+5) = -lambda^3 -3lambda^2 +13lambda +15,
-16(lambda+1) = -16lambda -16,
chiA(lambda)=-lambda^3 -3lambda^2 +13lambda +15 -16lambda -16 =-lambda^3 -3lambda^2 -3lambda -1
Multiplicando por -1 vem
chiA(lambda)=lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=(lambda+1)^3

Passo 3

Do fator (lambda+1)^3 concluímos que há um único autovalor
lambda=-1
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Para achar o autoespaço associado a lambda=-1, resolvemos
(A -(-1)I)v=(A+I)v=0
Temos
A+I= 4&3&-2 0&0&0 8&6&-4
A segunda linha não impõe condição, e a terceira é o dobro da primeira. A única equação não-trivial é
4x+3y-2z=0
Parametrizando y=s, z=t obtemos
x=-3s+2t4

Passo 5

Escolhendo parâmetros para formar vetores inteiros, podemos tomar:
para (s,t)=(4,0)colon v1=l(-3,,4,,0r), para (s,t)=(0,2)colon v2=l(1,,0,,2r)
Assim uma base do autoespaço lambda=-1 é
,v1,v2 =(-3,4,0),,(1,0,2),
logo a dimensão geométrica é 2.

Passo 6

A multiplicidade algébrica de lambda=-1 vale 3, mas a multiplicidade geométrica é 2. Como não há três vetores próprios linearmente independentes, A não é diagonalizável. Portanto não existe matriz inversível P tal que P^-1AP seja diagonal.

Resposta

Autovalor: (mult. alg. ).
Autoespaço : solução de , base escolhida
Como a dimensão geométrica é , não há diagonalização e não existe matriz invertível tal que seja diagonal.

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