Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular P, se existir, de modo que D=P^-1 A P seja diagonal.
(Grupo D) A=[lll3 & 2 & 1 1 & 4 & 1 1 & 2 & 3].

Passo 1

O enunciado pede que, para
A = 3 & 2 & 1 1 & 4 & 1 1 & 2 & 3 ,
a gente encontre os autovalores lambda, os autovetores correspondentes, bases dos autoespaços e, se possível, uma matriz não singular P tal que D = P^-1 A P seja diagonal. Vamos usar o polinômio característico e depois verificar as dimensões dos autoespaços para garantir a diagonalização.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico det(A - lambda I):
det(A - lambda I) = det 3-lambda & 2 &1 1&4-lambda&1 1&2&3-lambda
Fazendo a expansão por cofactores e simplificando, obtemos
det(A - lambda I) = lambda^3 ;-;10lambda^2;+;28lambda;-;24

Passo 3

Procuramos raízes inteiras em pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm8,pm12,pm24. Testando lambda=2,
2^3 -10cdot2^2 +28cdot2 -24 =8 -40 +56 -24 =0,
logo lambda=2 é raiz dupla. Dividindo o polinômio por (lambda-2) obtemos o quociente lambda^2 -8lambda +12, cujas raízes são
lambda = 8pmraiz64-482 = 8pm42 ;Longrightarrow; lambda=6 ou lambda=2
Portanto os autovalores são
lambda1 = 2(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2 = 6(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Para lambda=6 resolvemos (A-6I)x=0.
A-6I = -3&2&11&-2&11&2&-3 ,
cujo sistema reduz a
x = y = z
Logo o autoespaço é umidimensional e uma base é
,v6=(1,1,1)^T

Passo 5

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0.
A-2I = 1&2&11&2&11&2&1 ;Longrightarrow; x + 2y + z =0
Temos dois graus de liberdade, por exemplo x=s, y=t, z=-s-2t. Duas escolhas independentes são
v2,1 = (1,0,-1)^T, v2,2=(0,1,-2)^T
Isso mostra que a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 2, igual à algébrica, logo A é diagonalizável.

Passo 6

Escolhendo a ordem dos autovalores em D como (2,2,6), montamos
P = l[v2,1;;v2,2;;v6r] = 1&0&1 0&1&1 -1&-2&1 ,
e
D = P^-1AP = 2&0&0 0&2&0 0&0&6

Resposta

Autovalores:
lambda=2 (multiplicidade algébrica e geométrica 2),
lambda=6 (multiplicidade algébrica e geométrica 1).
Bases dos autoespaços:
para lambda=2: (1,0,-1)^T,,(0,1,-2)^T,
para lambda=6: (1,1,1)^T.
Uma escolha de P e D é
P= 1&0&1 0&1&1 -1&-2&1 , D= 2&0&0 0&2&0 0&0&6

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