EXTRA (Valor 2,0) Considere a matriz A=[lll1 & t & 1 t & 1 & 0 1 & 1 & 2], B=[l1 2 3] e t in R.
a) Use o escalonamento para encontrar os valores de, se houver, para os quais a matriz è inversivel.
b) Resolva o sistema A X=B, especificando as condições para te classifique o sistema.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & t & 1 t & 1 & 0 1 & 1 & 2 ,
o vetor
B = 123,
e pede:
(a) achar, via escalonamento, para quais tinR a matriz A é inversível;
(b) resolver o sistema A X = B e classificar o sistema (única solução, nenhuma ou infinitas).

Passo 2

Escalonamos A usando
R2 to R2 - t,R1, R3 to R3 - R1
ficando
1 & t & 1 0 & 1 - t^2 & -t 0 & 1 - t & 1

Passo 3

O determinante de A é o produto do pivô 1 pelo determinante do bloco de baixo-direita:
det(A) = (1 - t^2)cdot 1 - (-t)cdot(1 - t) = 1 + t - 2t^2 = (1 - t)(2t + 1)
Logo
det(A)neq 0 sse
t neq 1 e t neq -tfrac12

Passo 4

Agora escalonamos a matriz aumentada [Amid B] com as mesmas operações, gerando o sistema
x + t,y + z = 1, (1 - t^2),y - t,z = 2 - t, (1 - t),y + z = 2

Passo 5

Se tneq 1 e tneq -tfrac12, temos pivôs não-nulos e solução única. Da terceira equação vem
z = 2 - (1 - t),y
Substituindo na segunda:
(1 + t - 2t^2),y = 2 + t Longrightarrow y = 2 + t(1 - t)(2t + 1)
Então
z = 2 - (1 - t)2 + t(1 - t)(2t + 1) = 3t2t + 1,
e da primeira
x = 1 - t,y - z = 1 - 4t(1 - t)(2t + 1)

Passo 6

Se t = 1 as equações 2 e 3 viram
-,z = 1, z = 2,
inconsistentes. Se t = -tfrac12 tornam-se
3y + 2z = 10, 3y + 2z = 4,
também contraditórias. Logo, para t=1 ou t=-tfrac12 o sistema não tem solução.

Resposta

(a) A é inversível exatamente para
t neq 1 e t neq -tfrac12
(b) Para tneq 1 e tneq -tfrac12 a solução única é
x = 1 - 4t(1 - t)(2t + 1), y = 2 + t(1 - t)(2t + 1), z = 3t2t + 1
Para t=1 ou t=-tfrac12 o sistema é impossível (nenhuma solução).

Exercícios relacionados