Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular , se existir, de modo que seja diagonal.
(Grupo E) .
Passo 1
O enunciado pede para a matriz
A=3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3
determinar todos os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e, se possível, encontrar uma matriz invertível P tal que
D = P^-1 A P
seja diagonal. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes e cálculo de autovalores e autovetores via resolução de (A-lambda I)v=0.
Passo 2
Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal. Logo
lambda1=lambda2=lambda3=3
A multiplicidade algébrica de lambda=3 é 3.
Passo 3
Para obter o autoespaço associado a resolvemos
Isso impõe e , deixando livre. Assim todo autovetor tem a forma
e uma base para o autoespaço é
A multiplicidade geométrica de é .
Passo 4
Para que A fosse diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas deveria ser 3. Como aqui a única auto-espaço tem dimensão 1 < 3, não há autovetores suficientes para formar uma base de R^3. Portanto A não é diagonalizável.
Resposta
lambda=3 com multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1.
Base do autoespaço E3=span100.
Não existe matriz invertível P tal que P^-1AP seja diagonal.