Em cada caso, determinar os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e uma matriz não-singular , se existir, de modo que seja diagonal.
(Grupo D) .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
e pede os autovalores, os autovetores, uma base para cada autoespaço e, se possível, uma matriz não-singular P que diagonalize A. Vamos usar que, para matriz triangular, os autovalores são as entradas da diagonal e que os autovetores vêm de (A-lambda I)v=0. Em seguida verificamos o critério de diagonalização (multiplicidade algébrica versus geométrica).
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Portanto
lambda = 2
com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 3
Para encontrar o autoespaço associado a resolvemos
Isto impõe a equação
logo os vetores próprios têm forma
Uma base do autoespaço de é
Passo 4
A multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) é 2, menor que a multiplicidade algébrica 3. Logo Anão é diagonalizável e não existe matriz inversível P tal que P^-1AP seja diagonal.
Resposta
Autovalor: lambda=2 (multiplicidade algébrica 3).
Eigenspace: ,v=(x1,0,x3)^Tmid x1,x3inR com base l(1,0,0)^T,,(0,0,1)^Tr.
Não existe matriz P que diagonalize A (não diagonalizável).