(Grupo C) Seja v um autovetor não-nulo de uma matriz A pertencente ao autovalor lambda. Prove que, para todo n in N^*, v um autovetor não-nulo de uma matriz A^n pertencente ao autovalor lambda^n.

Passo 1

O enunciado diz que vneq0 é autovetor de uma matriz A com autovalor lambda, ou seja,
Av=lambdav
Queremos mostrar que, para todo ninN^*, vale
A^nv=lambda^nv,
ou seja, v é autovetor de A^n com autovalor lambda^n. O método mais direto é usar indução em n.

Passo 2

(Caso base n=1)
Para n=1 temos A^1=A, e como v já é autovetor de A,
A^1v=Av=lambdav=lambda^1v
Logo a propriedade vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo)
Suponha que, para algum k>=1,
A^kv=lambda^kv
Então para n=k+1 temos
A^k+1v = Al(A^kvr) = Al(lambda^kvr) = lambda^kl(Avr) = lambda^k(lambdav) = lambda^k+1v
Assim a propriedade se estende de k para k+1.

Passo 4

(Pela indução)
Como a propriedade vale para n=1 e de n=k implica n=k+1, concluímos que
A^nv=lambda^nv para todo ninN^*
Isto mostra que v é autovetor de A^n com autovalor lambda^n.

Resposta

Por indução matemática, A^nv=lambda^nv para todo ninN^*, logo v é autovetor de A^n associado ao autovalor lambda^n.

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