(Grupo C) Seja v um autovetor não-nulo de uma matriz
pertencente ao autovalor
. Prove que, para todo
um autovetor não-nulo de uma matriz
pertencente ao autovalor
.
Passo 1
O enunciado diz que
é autovetor de uma matriz
com autovalor
, ou seja,
Queremos mostrar que, para todo
, vale
ou seja,
é autovetor de
com autovalor
. O método mais direto é usar indução em
.
Passo 2
(Caso base
)
Para temos
, e como
já é autovetor de
,
Para
Logo a propriedade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo)
Suponha que, para algum ,
Suponha que, para algum
Então para
temos
Assim a propriedade se estende de
para
.
Passo 4
(Pela indução)
Como a propriedade vale para e de
implica
, concluímos que
Como a propriedade vale para
Isto mostra que
é autovetor de
com autovalor
.
Resposta
Por indução matemática,
para todo
, logo
é autovetor de
associado ao autovalor
.