Em cada caso, determine o ângulo entre os vetores u e v. Recorde que o ângulo theta entre u e v é definido por theta=arccos u cdot v|u||v|.
(e) u=(1,1,1,1) e v=(1,1,0,0)

Passo 1

O enunciado pede para achar o ângulo θ entre os vetores u e v em ℝ⁴ usando a fórmula θ=arccos
(u⋅v/(∥u∥∥v∥)). Vamos usar produto escalar e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto escalar u⋅v. Para u=(1,1,1,1) e v=(1,1,0,0) temos:
ucdot v = 1cdot1 + 1cdot1 + 1cdot0 + 1cdot0 = 2

Passo 3

Em seguida, encontramos as normas de u e de v. Para u:
|u| = raiz1^2+1^2+1^2+1^2 = raiz4 = 2
e para v:
|v| = raiz1^2+1^2+0^2+0^2 = raiz2

Passo 4

Agora substituímos na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(θ) = ucdot v|u|,|v| = 22raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Passo 5

Por fim, calculamos θ: arccos
(√2/2) é π/4 radianos (ou 45°).

Resposta

θ = \frac{π}{4} (45°)

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