Considere o produto interno
para polinômios
e
de grau menor ou igual a dois e a norma
(definida para qualquer polinômio
de grau menor ou igual a 2 ). Para
e
, calcule:
(a)
(b)
e
©
(d)
(e) O ângulo
entre
e
. Recorde que, analogamente ao caso do produto escalar, nesse caso
.
(a)
(b)
©
(d)
(e) O ângulo
Passo 1
A gente tem polinômios de grau ≤2 e o produto interno definido por ⟨p,q⟩=a₂b₂+a₁b₁+a₀b₀, onde p↔(a₂,a₁,a₀) e q↔(b₂,b₁,b₀). Vamos extrair coeficientes de p₁=x²−2x+3, p₂=3x−4 e p₃=1−x², e usar definições de produto interno, norma, soma e ângulo.
Passo 2
Extraindo coeficientes: p₁↔(1,−2,3), p₂↔(0,3,−4). Aplicando a definição:
Passo 3
Para as normas usamos
. Primeiro p₁:
Passo 4
Para p₃ extraímos p₃↔(−1,0,1) e calculamos:
Passo 5
Agora a soma p₁+p₂ tem coeficientes (1+0,−2+3,3−4)=(1,1,−1). Logo:
Passo 6
Para normalizar p₂ calculamos primeiro
:
Passo 7
Logo a direção unitária é p₂/|p₂| com coeficientes (0,3/5,−4/5), ou seja
Passo 8
Para o ângulo entre p₁ e p₃, usamos
Resposta
(a) -18
(b) ,
©
(d)
(e)
(b)
©
(d)
(e)