Considere o produto interno
lang<= p, qrang<==a2 b2+a1 b1+a0 b0
para polinômios p=a2 x^2+a1 x+a0 e q=b2 x^2+b1 x+b0 de grau menor ou igual a dois e a norma |p|=raizlang<= p, prang<= (definida para qualquer polinômio p de grau menor ou igual a 2 ). Para p1=x^2-2 x+3, p2=3 x-4 e p3=1-x^2, calcule:
(a) theta
(b) p1 e p3
©
(d)
(e) O ângulo entre e . Recorde que, analogamente ao caso do produto escalar, nesse caso .

Passo 1

A gente tem polinômios de grau ≤2 e o produto interno definido por ⟨p,q⟩=a₂b₂+a₁b₁+a₀b₀, onde p↔(a₂,a₁,a₀) e q↔(b₂,b₁,b₀). Vamos extrair coeficientes de p₁=x²−2x+3, p₂=3x−4 e p₃=1−x², e usar definições de produto interno, norma, soma e ângulo.

Passo 2

Extraindo coeficientes: p₁↔(1,−2,3), p₂↔(0,3,−4). Aplicando a definição:
lang<= p1,p2rang<= =1cdot0+(-2)cdot3+3cdot(-4)=-18

Passo 3

Para as normas usamos |p|=raizlang<= p,prang<=. Primeiro p₁:
lang<= p1,p1rang<= =1^2+(-2)^2+3^2=14,|p1|=raiz14

Passo 4

Para p₃ extraímos p₃↔(−1,0,1) e calculamos:
lang<= p3,p3rang<= =(-1)^2+0^2+1^2=2,|p3|=raiz2

Passo 5

Agora a soma p₁+p₂ tem coeficientes (1+0,−2+3,3−4)=(1,1,−1). Logo:
|p1+p2|=raiz1^2+1^2+(-1)^2=raiz3

Passo 6

Para normalizar p₂ calculamos primeiro |p2|:
lang<= p2,p2rang<= =0^2+3^2+(-4)^2=25,|p2|=5

Passo 7

Logo a direção unitária é p₂/|p₂| com coeficientes (0,3/5,−4/5), ou seja
p2|p2|=35x - 45

Passo 8

Para o ângulo entre p₁ e p₃, usamos
lang<= p1,p3rang<==1cdot(-1)+(-2)cdot0+3cdot1=2,
costheta=lang<= p1,p3rang<=|p1|,|p3| = 2raiz14,raiz2=1raiz7,theta=arccos1raiz7

Resposta

(a) -18
(b) |p1|=raiz14, |p3|=raiz2
© |p1+p2|=raiz3
(d) p2/|p2|=tfrac35x-tfrac45
(e) theta=arccosl(1/raiz7r)

Exercícios relacionados