Sejam V um espaço vetorial e u, v, w subset V um conjunto l.i. Mostre que os seguintes conjuntos u, u+v, u+v+w também são l.i.
u+2 v, u+v, u+v+w.

Passo 1

O enunciado nos diz que V é um espaço vetorial e que u,v,w é um conjunto linearmente independente. Precisamos mostrar que os conjuntos u,,u+v,,u+v+w e u+2v,,u+v,,u+v+w também são linearmente independentes. O conteúdo chave aqui é a definição de independência linear: uma combinação linear só é nula quando todos os coeficientes são zero, e vamos usar a hipótese para u,v,w.

Passo 2

Para o primeiro conjunto, suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,u + b,(u+v) + c,(u+v+w) = 0
Abraçando a combinação em termos de u,v,w, temos
a,u + b,u + b,v + c,u + c,v + c,w = 0
ou seja,
(a + b + c),u + (b + c),v + c,w = 0

Passo 3

Como u,v,w é l.i., todos os coeficientes devem ser zero:
a + b + c = 0,
b + c = 0,
c = 0

Passo 4

Da última equação vem c=0. Substituindo em b+c=0 segue b=0, e em a+b+c=0 obtemos a=0. Assim concluímos que a combinação só é trivial, logo u,,u+v,,u+v+w é l.i.

Passo 5

Para o segundo conjunto, suponha escalares x,y,z tais que
x,(u+2v) + y,(u+v) + z,(u+v+w) = 0

Passo 6

Expandindo em u,v,w, vem
x,u + 2x,v + y,u + y,v + z,u + z,v + z,w = 0,
ou
(x + y + z),u + (2x + y + z),v + z,w = 0

Passo 7

Pela independência de u,v,w, temos o sistema
x + y + z = 0,
2x + y + z = 0,
z = 0

Passo 8

Da terceira equação z=0. Subtraindo a primeira da segunda dá (2x+y)-(x+y)=0, logo x=0. Em seguida x+y+z=0 implica y=0. Isso mostra que a combinação é trivial, e portanto u+2v,,u+v,,u+v+w é l.i.

Resposta

Ambos os conjuntos são linearmente independentes.

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