Sejam
um espaço vetorial e
um conjunto l.i. Mostre que os seguintes conjuntos
também são l.i.
.
Passo 1
O enunciado nos diz que V é um espaço vetorial e que
é um conjunto linearmente independente. Precisamos mostrar que os conjuntos
e
também são linearmente independentes. O conteúdo chave aqui é a definição de independência linear: uma combinação linear só é nula quando todos os coeficientes são zero, e vamos usar a hipótese para
.
Passo 2
Para o primeiro conjunto, suponha que existam escalares
tais que
Abraçando a combinação em termos de
ou seja,
Passo 3
Como
é l.i., todos os coeficientes devem ser zero:
Passo 4
Da última equação vem
. Substituindo em
segue
, e em
obtemos
. Assim concluímos que a combinação só é trivial, logo
é l.i.
Passo 5
Para o segundo conjunto, suponha escalares
tais que
Passo 6
Expandindo em
, vem
ou
Passo 7
Pela independência de
, temos o sistema
Passo 8
Da terceira equação
. Subtraindo a primeira da segunda dá
, logo
. Em seguida
implica
. Isso mostra que a combinação é trivial, e portanto
é l.i.
Resposta
Ambos os conjuntos são linearmente independentes.