Considere o produto interno
lang<= u, vrang<==x1 x2+2 x1 y2+2 x2 y1+5 y1 y2
definido para u e |u|=1. Recorde que, analogamente ao caso com produto escalar, define-se um vetor unitário como um vetor |u|=raizlang<= u, urang<= tal que u, onde v. Além disso, dois vetores lang<= u, vrang<==0 e são ditos ortogonais quando . Uma base diz-se uma base ortonormal quando seus elementos são mutuamente (dois-a-dois) ortogonais e unitários (segundo as definições acima).

Passo 1

O enunciado define um produto interno em R^2 dado por lang<=(x1,y1),(x2,y2)rang<= = x1 x2 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 5y1 y2. O objetivo é encontrar uma base ortonormal segundo esse produto interno, ou seja, dois vetores de norma 1 e mutuamente ortogonais.

Passo 2

Começamos pelo vetor padrão e1=(1,0). Calculamos sua norma:
|e1|^2 = lang<= e1,e1rang<= = 1cdot1 +2cdot1cdot0 +2cdot1cdot0 +5cdot0cdot0 =1
Logo |e1|=1, então u1=e1 já é unitário.

Passo 3

Agora orthogonalizamos e2=(0,1) em relação a u1. Primeiro o produto interno
lang<= e2,u1rang<= = lang<=(0,1),(1,0)rang<= = 0cdot1 +2cdot0cdot0 +2cdot1cdot1 +5cdot1cdot0 =2
Então definimos
v2 = e2 - lang<= e2,u1rang<=,u1 = (0,1) - 2,(1,0) = (-2,1)

Passo 4

Faltam verificar norma de v2:
|v2|^2 = lang<=(-2,1),(-2,1)rang<= = (-2)^2 +2(-2)cdot1 +2(-2)cdot1 +5cdot1^2 =4 -4 -4 +5 =1
Logo |v2|=1. Como já construímos v2 ortogonal a u1 e de norma 1, basta definir u2 = v2.

Passo 5

Concluímos que u1=(1,0) e u2=(-2,1) são ortonormais segundo o produto interno dado, pois cada um tem norma 1 e lang<= u1,u2rang<==0.

Resposta

Uma base ortonormal é (1,0),,(-2,1).

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