Considere o produto interno
definido para
e
. Recorde que, analogamente ao caso com produto escalar, define-se um vetor unitário como um vetor
tal que
, onde
. Além disso, dois vetores
e
são ditos ortogonais quando
. Uma base diz-se uma base ortonormal quando seus elementos são mutuamente (dois-a-dois) ortogonais e unitários (segundo as definições acima).
Passo 1
O enunciado define um produto interno em
dado por
. O objetivo é encontrar uma base ortonormal segundo esse produto interno, ou seja, dois vetores de norma 1 e mutuamente ortogonais.
Passo 2
Começamos pelo vetor padrão
. Calculamos sua norma:
Logo
, então
já é unitário.
Passo 3
Agora orthogonalizamos
em relação a
. Primeiro o produto interno
Então definimos
Passo 4
Faltam verificar norma de
:
Logo
. Como já construímos
ortogonal a
e de norma 1, basta definir
.
Passo 5
Concluímos que
e
são ortonormais segundo o produto interno dado, pois cada um tem norma 1 e
.
Resposta
Uma base ortonormal é
.