Verifique quais afirmações são falsas e quais são verdadeiras. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Sejam
um espaço vetorial e
subespaços vetoriais de
.
Então,
também é subespaço vetorial.
Sejam
Então,
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a interseção de dois subespaços vetoriais é também um subespaço. O conteúdo aplicado é a definição de subespaço vetorial, que exige: conter o vetor zero, ser fechado em relação à adição e ser fechado em relação à multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, note que como U e V são subespaços de V, ambos contêm o vetor zero de V. Logo, temos 0∈U e 0∈V, portanto 0∈U∩V, mostrando que a interseção não é vazia e contém o zero.
Passo 3
Agora tomemos dois vetores quaisquer u e w em U∩V. Por definição, u∈U e u∈V, e também w∈U e w∈V. Como U e V são subespaços, suas somas u+w pertencem tanto a U quanto a V. Logo, u+w∈U∩V, provando o fechamento em relação à adição.
Passo 4
Finalmente, para qualquer escalar α e qualquer vetor u em U∩V, temos u∈U e u∈V. Como ambos são subespaços, αu∈U e αu∈V. Logo αu∈U∩V, garantindo o fechamento escalar.
Resposta
Verdadeira