Para cada caso, determine se é mais apropriado usar interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou ajuste por mínimos quadrados exponencial e explique o motivo de sua escolha.
Um engenheiro precisa modelar os dados de uma simulação numérica, mas sabe que os valores obtidos não são completamente precisos e deseja obter uma curva que se aproxime o máximo possível da tendência geral dos dados.
Um engenheiro precisa modelar os dados de uma simulação numérica, mas sabe que os valores obtidos não são completamente precisos e deseja obter uma curva que se aproxime o máximo possível da tendência geral dos dados.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Um engenheiro tem uns pontos de uma simulação que não são 100% precisos e quer uma curva que siga a tendência geral dos dados. Dentre estes métodos – interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou exponencial – qual é o mais apropriado?”
Matéria: métodos de ajuste de curva (interpolação e mínimos quadrados).
O que vamos precisar:
Matéria: métodos de ajuste de curva (interpolação e mínimos quadrados).
O que vamos precisar:
- Entender o que faz cada método;
- Saber qual efeito o ruído (erro) nos dados tem em cada técnica;
- Saber transformar um ajuste exponencial em um ajuste “linearizado” para aplicar mínimos quadrados.
Passo 2
Interpolação
– O que é: dado um conjunto de pontos , a interpolação gera uma função
que passa exatamente por cada ponto.
– Por que não usar aqui: como os dados têm ruído (não são precisos), você forçaria a “passar pelos erros” e criaria ondulações estranhas (overfitting). Ou seja, a curva interpoladora vai seguir cada alta e baixa de erro, perdendo a tendência geral.
– O que é: dado um conjunto de pontos
– Por que não usar aqui: como os dados têm ruído (não são precisos), você forçaria
Passo 3
Ajuste por mínimos quadrados linear
– Ideia geral: buscamos uma reta
– Ideia geral: buscamos uma reta
que minimize a soma dos quadrados das distâncias verticais (resíduos)
– Fórmulas do “a” e do “b”:
– Quando usar: os pontos, apesar de ruidosos, parecem alinhados em torno de uma reta.
Passo 4
Ajuste por mínimos quadrados exponencial
– Modelo:
– Modelo:
– Transformação: toma-se log natural em ambos os lados
Agora a gente define
e faz o ajuste linear
pelos mesmos fórmulas de mínimos quadrados do passo anterior (basta trocar
por
). Depois recupera
.
– Quando usar: os dados, no gráfico normal, crescem (ou decaem) de forma “curva” típica de exponencial.
– Quando usar: os dados, no gráfico normal, crescem (ou decaem) de forma “curva” típica de exponencial.
Passo 5
Qual método escolher?
- Evita interpolação: seus dados são imprecisos, não faz sentido “grudar” nos erros.
- Decide entre linear ou exponencial observando o formato da nuvem de pontos:
- Se parecem seguir uma reta com dispersão, vai de ajuste linear.
- Se parecem crescer/decair aceleradamente (curva tipo
), faz o ajuste exponencial via transformação log.
Resposta
Use sempre ajuste por mínimos quadrados (não interpolação). Se a nuvem de pontos estiver alinhada em torno de uma reta, escolha o ajuste linear; se der para ver um crescimento ou decaimento tipo curva exponencial, escolha o ajuste exponencial (transformando
por
e aplicando mínimos quadrados linear).