Para cada caso, determine se é mais apropriado usar interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou ajuste por mínimos quadrados exponencial e explique o motivo de sua escolha.
Um engenheiro precisa modelar os dados de uma simulação numérica, mas sabe que os valores obtidos não são completamente precisos e deseja obter uma curva que se aproxime o máximo possível da tendência geral dos dados.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Um engenheiro tem uns pontos de uma simulação que não são 100% precisos e quer uma curva que siga a tendência geral dos dados. Dentre estes métodos – interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou exponencial – qual é o mais apropriado?”
Matéria: métodos de ajuste de curva (interpolação e mínimos quadrados).
O que vamos precisar:
  • Entender o que faz cada método;
  • Saber qual efeito o ruído (erro) nos dados tem em cada técnica;
  • Saber transformar um ajuste exponencial em um ajuste “linearizado” para aplicar mínimos quadrados.

Passo 2

Interpolação
– O que é: dado um conjunto de pontos , a interpolação gera uma função que passa exatamente por cada ponto.
– Por que não usar aqui: como os dados têm ruído (não são precisos), você forçaria a “passar pelos erros” e criaria ondulações estranhas (overfitting). Ou seja, a curva interpoladora vai seguir cada alta e baixa de erro, perdendo a tendência geral.

Passo 3

Ajuste por mínimos quadrados linear
– Ideia geral: buscamos uma reta
y = a,x + b
que minimize a soma dos quadrados das distâncias verticais (resíduos)
sumi=1^n l(yi - (a,xi + b)r)^2
– Fórmulas do “a” e do “b”:
a = nsum xi yi ;-;sum xi sum yi nsum xi^2 ;-;(sum xi)^2, b = sum yi - a,sum xin
– Quando usar: os pontos, apesar de ruidosos, parecem alinhados em torno de uma reta.

Passo 4

Ajuste por mínimos quadrados exponencial
– Modelo:
y = A,e^B,x
– Transformação: toma-se log natural em ambos os lados
ln y = ln A + B,x
Agora a gente define
Y = ln y, C = ln A,
e faz o ajuste linear
Y = B,x + C
pelos mesmos fórmulas de mínimos quadrados do passo anterior (basta trocar por ). Depois recupera .
– Quando usar: os dados, no gráfico normal, crescem (ou decaem) de forma “curva” típica de exponencial.

Passo 5

Qual método escolher?
  1. Evita interpolação: seus dados são imprecisos, não faz sentido “grudar” nos erros.
  2. Decide entre linear ou exponencial observando o formato da nuvem de pontos:
    • Se parecem seguir uma reta com dispersão, vai de ajuste linear.
    • Se parecem crescer/decair aceleradamente (curva tipo ), faz o ajuste exponencial via transformação log.

Resposta

Use sempre ajuste por mínimos quadrados (não interpolação). Se a nuvem de pontos estiver alinhada em torno de uma reta, escolha o ajuste linear; se der para ver um crescimento ou decaimento tipo curva exponencial, escolha o ajuste exponencial (transformando por e aplicando mínimos quadrados linear).

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