Achar uma parábola via mínimos quadrados linear para aproximar três pontos e é equivalente a interpolar este pontos (via Lagrange ou Newton)?
Passo 1
Beleza, aqui a questão é a seguinte: queremos “achar uma parábola”
usando o método dos mínimos quadrados lineares para três pontos . A pergunta é: isso dá na mesma que interpolar esses três pontos (via Lagrange ou Newton)?
Conteúdo envolvido:
Definição de mínimos quadrados lineares (equações normais)
Interpolação polinomial de grau 2
O que a gente vai precisar: montar a soma dos erros, achar as equações normais, e comparar com as condições de interpolação.
Passo 2
Vamos por partes. No método dos mínimos quadrados, a gente define o erro em cada ponto como
e quer minimizar a soma dos quadrados desses erros:
Pra achar o mínimo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Isso gera três equações lineares (as chamadas equações normais).
Passo 3
Escrevendo essas equações normais em forma matricial, definimos a matriz de projeto
As equações normais viram
X^T X,vec v = X^T ,vec y
Mas repara só: vec v = (X^T X)^-1 X^T ,vec y é uma matriz . Se os forem todos distintos, ela é invertível. Então
é única.
Passo 4
Por outro lado, a condição de interpolação pura é exatamente
p(xi)=yi, i=1,2,3,
ou seja
X,vec v = vec y
Quando você tem um sistema quadrado e invertível ( X,vec v = vec y é X^T X,vec v = X^T vec y, ), resolver
é equivalente a resolver
pois qualquer que torne faz também , e é único. Logo, a parábola que “melhor se ajusta” em mínimos quadrados faz erro zero em cada ponto — é exatamente a interpoladora.
Resposta
Sim. Para três pontos e grau 2, o ajuste por mínimos quadrados linear coincide com a interpolação (Lagrange ou Newton), porque a matriz do sistema é quadrada e invertível, e a solução de mínimos quadrados dá erro zero em cada ponto.