Achar uma parábola p(x)=a x^2+b x+c via mínimos quadrados linear para aproximar três pontos (x1, y1),(x2, y2) e (x3, y3) é equivalente a interpolar este pontos (via Lagrange ou Newton)?

Passo 1

Beleza, aqui a questão é a seguinte: queremos “achar uma parábola”
p(x)=a,x^2+b,x+c
usando o método dos mínimos quadrados lineares para três pontos . A pergunta é: isso dá na mesma que interpolar esses três pontos (via Lagrange ou Newton)?
Conteúdo envolvido:
  • Definição de mínimos quadrados lineares (equações normais)
  • Interpolação polinomial de grau 2
    O que a gente vai precisar: montar a soma dos erros, achar as equações normais, e comparar com as condições de interpolação.

Passo 2

Vamos por partes. No método dos mínimos quadrados, a gente define o erro em cada ponto como
ei = yi - p(xi) = yi - l(a,xi^2 + b,xi + cr)
e quer minimizar a soma dos quadrados desses erros:
S(a,b,c) ;=; sumi=1^3 ei^2 ;=; sumi=1^3 l(yi - (a,xi^2 + b,xi + c)r)^2
Pra achar o mínimo, derivamos partial Spartial a=0, partial Spartial b=0, partial Spartial c=0 em relação a e igualamos a zero:
Isso gera três equações lineares (as chamadas equações normais).

Passo 3

Escrevendo essas equações normais em forma matricial, definimos a matriz de projeto
X = x1^2 & x1 & 1 x2^2 & x2 & 1 x3^2 & x3 & 1 , vec v = abc, vec y = y1y2y3
As equações normais viram
X^T X,vec v = X^T ,vec y
Mas repara só: vec v = (X^T X)^-1 X^T ,vec y é uma matriz . Se os forem todos distintos, ela é invertível. Então
é única.

Passo 4

Por outro lado, a condição de interpolação pura é exatamente
p(xi)=yi, i=1,2,3,
ou seja
X,vec v = vec y
Quando você tem um sistema quadrado e invertível ( X,vec v = vec y é X^T X,vec v = X^T vec y, ), resolver
é equivalente a resolver
pois qualquer que torne faz também , e é único. Logo, a parábola que “melhor se ajusta” em mínimos quadrados faz erro zero em cada ponto — é exatamente a interpoladora.

Resposta

Sim. Para três pontos e grau 2, o ajuste por mínimos quadrados linear coincide com a interpolação (Lagrange ou Newton), porque a matriz do sistema é quadrada e invertível, e a solução de mínimos quadrados dá erro zero em cada ponto.

Exercícios relacionados