Qual seria uma previsão para o valor de quando ? [Dica: use o python para resolver o sistema linear que irá surgir]
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente “ajustar um polinômio cúbico” (ou seja, grau 3) aos 8 pares dados e depois usar esse polinômio para prever quando .
Conteúdo envolvido: regressão por mínimos quadrados de um polinômio de grau 3.
O que vamos precisar:
Construir a matriz de Vandermonde (colunas com ).
Montar o sistema normal .
Resolver esse sistema (a dica é usar Python).
Avaliar o polinômio em .
Passo 2
Montando a matriz e o vetor :
Cada linha de corresponde a .
Passo 3
Formamos o sistema normal:
A^T A ;a ;=; A^T y, onde a=(a0,a1,a2,a3)^T
Isso gera um em que cada elemento é , e o lado direito é . É muita conta pra fazer na mão, mas o Python resolve fácil.
Passo 4
No Python você pode fazer assim (usando NumPy):
import numpy as np
x = np.array([3,4,5,7,8,9,11,12], dtype=float)
y = np.array([1.6,3.6,4.4,3.4,2.2,2.8,3.8,4.6], dtype=float)
# monta a matriz de Vandermonde grau 3
A = np.vstack([np.ones_like(x), x, x**2, x**3]).T
# resolve o sistema normal por least squares
coeffs, *_ = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)
a0, a1, a2, a3 = coeffs
Isso te dá os coeficientes p(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 do polinômio