Para cada caso, determine se é mais apropriado usar interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou ajuste por mínimos quadrados exponencial e explique o motivo de sua escolha.
Um engenheiro precisa calcular a área de um terreno. Ele possui apenas algumas coordenadas da fronteira do terreno e gostaria de estabelecer a curva que passa por estas coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede pra gente escolher, em cada caso, entre:
  • interpolação,
  • ajuste por mínimos quadrados linear,
  • ajuste por mínimos quadrados exponencial.
No nosso caso específico, temos um engenheiro que só tem umas coordenadas que formam a fronteira de um terreno e quer uma “curva” que passe por todas essas coordenadas.
Conteúdo da matéria: interpolação versus regressão (mínimos quadrados).
O que vamos precisar: entender a diferença básica entre esses métodos e ver qual encaixa melhor quando se quer exatamente uma curva que passe por todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada técnica faz:
  1. Interpolação polinomial
    • Aqui a gente escolhe um polinômio tal que, para cada ponto , valha .
    • Vantagem: a curva passa exatamente por todos os pontos dados.
    • Desvantagem: pode ter oscilações se usar polinômios de grau muito alto (efeito Runge), mas para fronteiras de terreno a gente normalmente usa grau moderado ou pedaços menores (splines).
  2. Ajuste por mínimos quadrados linear
    • A gente ajusta uma reta de forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.
    • A curva resultante geralmente não passa por todos os pontos, ela “aproxima” no sentido de erro quadrático mínimo.
  3. Ajuste por mínimos quadrados exponencial
    • Se acha que cresce tipo , aplica mínimos quadrados em versus .
    • Também gera uma curva aproximada, não passa em todos os pontos, e ainda pressupõe crescimento/decrescimento exponencial.

Passo 3

No caso do terreno, a fronteira deve ser respeitada ponto a ponto. A ideia é ter uma curva que passe exatamente pelos vértices fornecidos, porque qualquer “erro” vai distorcer a área calculada.
  • Ajuste linear e exponencial não servem, pois eles fazem aproximação e não garantem passar pelos pontos.
  • Interpolação é feita justamente pra isso: “interpolar” os pontos, gerando um polinômio (ou spline) que respeita cada coordenada.

Passo 4

Portanto, a melhor escolha é utilizar interpolação polinomial (ou uma versão em splines, se o engenheiro quiser evitar oscilações demais). Assim a curva fica certinha em todos os pontos e daí é só integrar essa curva para achar a área do terreno.

Resposta

Interpolação, pois precisamos de uma curva que passe exatamente por todas as coordenadas da fronteira do terreno.

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