Para cada caso, determine se é mais apropriado usar interpolação, ajuste por mínimos quadrados linear ou ajuste por mínimos quadrados exponencial e explique o motivo de sua escolha.
Um engenheiro precisa calcular a área de um terreno. Ele possui apenas algumas coordenadas da fronteira do terreno e gostaria de estabelecer a curva que passa por estas coordenadas.
Um engenheiro precisa calcular a área de um terreno. Ele possui apenas algumas coordenadas da fronteira do terreno e gostaria de estabelecer a curva que passa por estas coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede pra gente escolher, em cada caso, entre:
- interpolação,
- ajuste por mínimos quadrados linear,
- ajuste por mínimos quadrados exponencial.
No nosso caso específico, temos um engenheiro que só tem umas coordenadas que formam a fronteira de um terreno e quer uma “curva” que passe por todas essas coordenadas.
Conteúdo da matéria: interpolação versus regressão (mínimos quadrados).
O que vamos precisar: entender a diferença básica entre esses métodos e ver qual encaixa melhor quando se quer exatamente uma curva que passe por todos os pontos.
Conteúdo da matéria: interpolação versus regressão (mínimos quadrados).
O que vamos precisar: entender a diferença básica entre esses métodos e ver qual encaixa melhor quando se quer exatamente uma curva que passe por todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada técnica faz:
-
Interpolação polinomial
- Aqui a gente escolhe um polinômio
tal que, para cada ponto , valha . - Vantagem: a curva passa exatamente por todos os pontos dados.
- Desvantagem: pode ter oscilações se usar polinômios de grau muito alto (efeito Runge), mas para fronteiras de terreno a gente normalmente usa grau moderado ou pedaços menores (splines).
- Aqui a gente escolhe um polinômio
-
Ajuste por mínimos quadrados linear
- A gente ajusta uma reta
de forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima. - A curva resultante geralmente não passa por todos os pontos, ela “aproxima” no sentido de erro quadrático mínimo.
- A gente ajusta uma reta
-
Ajuste por mínimos quadrados exponencial
- Se acha que
cresce tipo , aplica mínimos quadrados em versus . - Também gera uma curva aproximada, não passa em todos os pontos, e ainda pressupõe crescimento/decrescimento exponencial.
- Se acha que
Passo 3
No caso do terreno, a fronteira deve ser respeitada ponto a ponto. A ideia é ter uma curva que passe exatamente pelos vértices fornecidos, porque qualquer “erro” vai distorcer a área calculada.
- Ajuste linear e exponencial não servem, pois eles fazem aproximação e não garantem passar pelos pontos.
- Interpolação é feita justamente pra isso: “interpolar” os pontos, gerando um polinômio (ou spline) que respeita cada coordenada.
Passo 4
Portanto, a melhor escolha é utilizar interpolação polinomial (ou uma versão em splines, se o engenheiro quiser evitar oscilações demais). Assim a curva fica certinha em todos os pontos e daí é só integrar essa curva para achar a área do terreno.
Resposta
Interpolação, pois precisamos de uma curva que passe exatamente por todas as coordenadas da fronteira do terreno.