Quantos pontos são necessários para que o polinômio de grau n obtido via mínimos quadrados linear coincida com o polinômio interpolador destes pontos?

Passo 1

Beleza, o enunciado tá perguntando o seguinte: “Para um polinômio de grau obtido por mínimos quadrados (ajuste linear em termos de coeficientes) coincidir com o polinômio interpolador desses mesmos pontos, quantos pontos a gente precisa?”
Conteúdo: ajuste por mínimos quadrados e interpolação polinomial.
O que vamos usar:
  • A forma geral de um polinômio de grau ,
  • Como montamos o sistema de mínimos quadrados (matriz de Vandermonde),
  • A ideia de “resíduo zero” para garantir que o ajuste seja exato (isto é, igual à interpolação).

Passo 2

Primeiro, lembra o polinômio de grau p(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + cdots + an x^n :
A = 1 & x1 & x1^2 & cdots & x1^n 1 & x2 & x2^2 & cdots & x2^n vdots & vdots & vdots & & vdots 1 & xm & xm^2 & cdots & xm^n ,
Se a gente tem mina |!Aa-y|2^2 Longrightarrow (A^T A),a = A^Ty pontos , no método dos mínimos quadrados a gente monta a matriz
os coeficientes em e o vetor de valores . O ajuste por mínimos quadrados resolve
Esse sistema tem solução única quando é invertível (ou seja, ).

Passo 3

Agora, para que o polinômio ajustado seja exatamente o interpolador, a gente quer resíduo zero:
Aa = y
Isso só acontece se o sistema for exatamente determinado e consistente. Note que:
  • Se e os são todos diferentes, é matriz quadrada do tipo Vandermonde, que é invertível.
  • Nesse caso, resolver dá exatamente , que é a solução do sistema .
    Ou seja, o ajuste por mínimos quadrados coincide com a interpolação.
Se a gente usasse mais de pontos ( ), o sistema ficaria sobredeterminado e só daria resíduo zero se, por acaso, todos os pontos já estivessem sobre um mesmo polinômio de grau . Mas pra garantir sempre, o número mínimo é .

Resposta

Você precisa de pontos (com abscissas distintas) para que o polinômio de grau obtido por mínimos quadrados coincida exatamente com o polinômio interpolador.

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