Quantos pontos são necessários para que o polinômio de grau obtido via mínimos quadrados linear coincida com o polinômio interpolador destes pontos?
Passo 1
Beleza, o enunciado tá perguntando o seguinte: “Para um polinômio de grau obtido por mínimos quadrados (ajuste linear em termos de coeficientes) coincidir com o polinômio interpolador desses mesmos pontos, quantos pontos a gente precisa?”
Conteúdo: ajuste por mínimos quadrados e interpolação polinomial.
O que vamos usar:
A forma geral de um polinômio de grau ,
Como montamos o sistema de mínimos quadrados (matriz de Vandermonde),
A ideia de “resíduo zero” para garantir que o ajuste seja exato (isto é, igual à interpolação).
Passo 2
Primeiro, lembra o polinômio de grau :
Se a gente tem pontos , no método dos mínimos quadrados a gente monta a matriz
os coeficientes em e o vetor de valores . O ajuste por mínimos quadrados resolve
Esse sistema tem solução única quando é invertível (ou seja, ).
Passo 3
Agora, para que o polinômio ajustado seja exatamente o interpolador, a gente quer resíduo zero:
Aa = y
Isso só acontece se o sistema for exatamente determinado e consistente. Note que:
Se e os são todos diferentes, é matriz quadrada do tipo Vandermonde, que é invertível.
Nesse caso, resolver dá exatamente , que é a solução do sistema .
Ou seja, o ajuste por mínimos quadrados coincide com a interpolação.
Se a gente usasse mais de pontos (), o sistema ficaria sobredeterminado e só daria resíduo zero se, por acaso, todos os pontos já estivessem sobre um mesmo polinômio de grau . Mas pra garantir sempre, o número mínimo é .
Resposta
Você precisa de pontos (com abscissas distintas) para que o polinômio de grau obtido por mínimos quadrados coincida exatamente com o polinômio interpolador.