Utilize regressão exponencial (g(x)=alpha e^beta x) para aproximar os pontos da tabela.
x 2 4.4 7.3
y 5.44 17 76
Qual seria uma previsão para o valor de y quando x=10 ?

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente ajuste uma curva do tipo
g(x)=alpha e^beta x
aos pontos dados e depois use esse modelo pra prever em . Isso é regressão exponencial: a gente transforma pra ficar num formato de reta ( ) e faz regressão linear. Vamos precisar de cálculo de log, soma de termos e as fórmulas de coeficiente angular e linear da reta.

Passo 2

Transforma a relação exponencial em linear: defina
Y = ln y, X = x
Então o modelo vira
Y = A + B,X,
com e . Aí aplicamos regressão linear em .

Passo 3

Calcular x1=2,;&y1=5.44Rightarrow Y1=ln(5.44)approx1.695, x2=4.4,;&y2=17;;Rightarrow Y2=ln(17)approx2.833, x3=7.3,;&y3=76;;Rightarrow Y3=ln(76)approx4.331 pra cada ponto:

Passo 4

Agora calculamos as somas necessárias (com sum Xi &=2 + 4.4 +7.3 =13.7, sum Yi &=1.695 +2.833 +4.331 =8.859, sum XiYi &=2cdot1.695 +4.4cdot2.833 +7.3cdot4.331 approx47.462, sum Xi^2 &=2^2 +4.4^2 +7.3^2 =4 +19.36 +53.29 =76.65 ):
B = beta = nsum XiYi - (sum Xi)(sum Yi)nsum Xi^2 - (sum Xi)^2,
As fórmulas da reta são
A = lnalpha = sum Yi - B,sum Xin
B = 3cdot47.462 - 13.7cdot8.8593cdot76.65 - (13.7)^2 approx142.386 -121.127229.95 -187.69 approx21.25942.26 approx0.503,
Substituindo:
A = 8.859 - 0.503cdot13.73 approx8.859 -6.8913 approx0.656

Passo 5

Voltando à forma exponencial:
alpha = e^A = e^0.656approx1.927, beta =0.503
Então nosso modelo final é
g(x) = 1.927,e^0.503,x

Passo 6

Para g(10) = 1.927,e^0.503cdot10 = 1.927,e^5.03 approx1.927cdot151.9 approx293 , calculamos

Resposta

A previsão para quando é aproximadamente .

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