Em cada caso determine a base ortogonal de C^3 (com p.i. usual), obtida pelo processo de Gram-Schmidt, a partir da base u, v, w.
u=(i,-1,1), v=(1,1+i, 1), w=(-2, i, 0)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt em C^3 (com produto interno usual lang<= x,yrang<==sum xiyi) à base
u,v,w, u=(i,-1,1),;v=(1,1+i,1),;w=(-2,i,0),
de modo a obter uma base ortogonal u1,u2,u3.

Passo 2

Definimos já de cara
u1 = u = (i,-1,1)
Calculamos
lang<= u1,u1rang<= = i,i + -1,(-1)+1,1 = (-i)i +(-1)(-1)+1cdot1 = 1+1+1 = 3,
e
lang<= u1,vrang<= = icdot1 + -1,(1+i) + 1cdot1 = -i -1 -i +1 = -2i
Então a projeção de v sobre u1 é
lang<= u1,vrang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = -2i3,(i,-1,1) = l(-tfrac23,-l(-tfrac2i3r),tfrac2i3r) =l(-tfrac23,-tfrac-2i3,tfrac2i3r)

Passo 3

Subtraindo de v obtemos
v2 = v - lang<= u1,vrang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = l(1,1+i,1r) -l(-tfrac23,-tfrac-2i3,tfrac2i3r) =l(tfrac13,,1+tfraci3,,1+tfrac2i3r)
Para simplificar, podemos multiplicar v2 por 3 sem perder ortogonalidade, e definir
u2 = 3,v2 = l(1,;3+i,;3+2ir)

Passo 4

Agora projetamos w sobre u1 e u2.
  1. Sobre u1:
lang<= u1,wrang<= = i,(-2)+-1,i+1,0 = 2i - i = i,
proju1w = i3,(i,-1,1) = l(-tfrac13,-tfraci3,tfraci3r)
  1. Sobre u2:
lang<= u2,u2rang<= = 1cdot1 +3+i(3+i)+3+2i(3+2i) = 1 +10 +13 =24,
lang<= u2,wrang<= = 1(-2)+3+i,i+3+2i,0 = -2 + (3-i)i = -2 +3i -i^2 = -1+3i,
proju2w = -1+3i24,(1,,3+i,,3+2i)
Subtraindo as duas projeções de w resulta em
u3 = w - i3u1 - -1+3i24u2 ;propto; l(-tfrac13+i8,,tfrac14 + i,,tfrac3-5i8r)
Para limpar denominadores, multiplicamos por 8 e definimos
u3 = l(- (13+i),;2+8i,;3-5ir)

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
u1 = (i,-1,1), u2 = (1,3+i,3+2i), u3 = l(- (13+i),;2+8i,;3-5ir)

Exercícios relacionados