Em cada caso determine a base ortogonal de C^3 (com p.i. usual), obtida pelo processo de Gram-Schmidt, a partir da base u, v, w.
u=(3,4,12), v=(7,-8,15), w=(-15,6,44)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em C^3 com o produto interno usual
u=(3,4,12), v=(7,-8,15), w=(-15,6,44)
e pede uma base ortogonal obtida pelo processo de Gram–Schmidt. Vamos usar projeções sucessivas para construir vetores f1,f2,f3 mutuamente ortogonais.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor da base ortogonal como
f1 = u = (3,4,12)
Calculamos o seu comprimento ao quadrado:
lang<= f1,f1rang<= = 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169

Passo 3

Para obter f2 subtraímos de v a projeção de v sobre f1:
lang<= v,f1rang<= = 7cdot3 + (-8)cdot4 + 15cdot12 = 21 -32 +180 = 169,
projf1(v) = lang<= v,f1rang<=lang<= f1,f1rang<=,f1 = 169169,f1 = f1
Logo
f2 = v - projf1(v) = (7,-8,15) - (3,4,12) = (4,-12,3)
Verificamos ainda
lang<= f2,f2rang<= = 4^2 + (-12)^2 + 3^2 = 16 + 144 + 9 = 169

Passo 4

Para f3 tiramos de w as projeções sobre f1 e f2:
  1. Projeção sobre f1: lang<= w,f1rang<= = (-15)cdot3 + 6cdot4 + 44cdot12 = -45 +24 +528 = 507,
projf1(w) = 507169,f1 = 3,f1 = (9,12,36)
  1. Projeção sobre f2: lang<= w,f2rang<= = (-15)cdot4 + 6cdot(-12) + 44cdot3 = -60 -72 +132 = 0,
projf2(w)=0
Portanto
f3 = w - projf1(w) - projf2(w) = (-15,6,44) - (9,12,36) = (-24,-6,8)

Resposta

Uma base ortogonal de C^3 obtida é
l,f1=(3,4,12),;f2=(4,-12,3),;f3=(-24,-6,8)r

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